Multiplicação de matrizes

Podemos afirmar que o produto das matrizes A = (a_ij) _{m x p}  e  B = ( b_ij) _{p x n}  é  igual a matriz C = (c_ij) _{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Ilustrando com um exemplo:

Vamos multiplicar as matrizes A e B, para obter cada c_ij :

1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna

Portanto:

Na multiplicação de matrizes (geralmente) não vale a propriedade comutativa.

Se invertermos a multiplicação anterior, temos que:

Logo, observa-se que: A.B ≠ B.A

Por definição: só existe o produto A.B de duas matrizes, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Propriedades

Valem as seguintes propriedades, desde que as condições de existência para multiplicação de matrizes sejam satisfeitas.

1)     Associativa: (A.B).C = A.(B.C);

2)     Distributiva em relação à adição: A.(B+C) = A.B+A.C, ou (A+B).C = A.C+B.C;

3)     Elemento neutro: A.I_n = I_n.A = A, onde I_n é a matriz identidade de ordem n.

As seguintes observações são importantes:

a)     A propriedade comutativa geralmente não é válida para multiplicação de matrizes;

b)     A matriz zero (=anulamento) do produto. 

Em outras palavras: seja 0_{m x n}  uma matriz nula (zero), A.B = 0_{m x n}   não implica, necessariamente, que  A = 0_{m x n}   ou  B = 0_{m x n}  .

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada (de ordem n), se existir uma matriz A’, (de mesma ordem, tal que A.A’ = A’.A = I_n, então A’ é matriz inversa de A.

Então, representa-se a matriz inversa de A por A^-1.