sábado, 6 de fevereiro de 2016

Progressão Geométrica – Ex.Resolvidos-3

EX-01 (POLI)
Que tipo de progressão constitui a sequência (sen(x), sen(x+π), sen(x+2π),..., sen(x+nπ) com sen(x) 0?

Solução:
















Logo, temos que:

(sen(x), sen(x+π), sen(x+2π),..., sen(x+nπ) =

= (sen(x), ─ sen(x), sen(x), ─ sen(x), …


Portanto, temos uma PG de razão q = ─ 1




EX-02
Obter a PG cujos elementos verificam as relações:
a2 + a4 + a7 = 370 e a3 + a5 + a8 = 740

Solução:

Aplicando a expressão do termo geral da PG.























Agora vamos dividir (II) por (I):







Em (I):

370=a1.q.(1+q2+q5) = a1.2.(1+22+25) = 74.a1 a1=370/74 = 5

a1 = 5


Portanto, a PG procurada é: (5, 10, 20, 40, ...)




EX-03  (ITA-1959)
Dada uma PG finita (a1, a2, a3, a4, ......, a10) de modo que a1=2 e a2=6, pergunta-se se é correta a igualdade.



Solução:







Portanto, a resposta é: NÃO




EX-04
Quantos termos tem uma PG de razão 2 cujo 1º termo é 6 e o último é 3072?

Solução:








Resposta: Existem 10 termos



EX-05
Inserir 5 meios geométricos entre 4 e 2916.

Solução:

Basta determinar a razão da PG.

Se vamos inserir 5 meios, a PG resultante possuirá 7 termos (= 5 + 2 extremos).

Portanto,








Resposta: (4, 12, 36, 108, 324, 972, 2916)




EX-06    
Qual é o número mínimo de meios geométricos que se deve interpolar entre 2 e 156250 para a razão de interpolação ficar menor que 5?


Solução:










Como a razão de interpolação dever ser inferior a 5, então o número de meios geométrico deve ser igual a 7.




EX-07  

Sendo a e b números dados, achar os outros dois x e y tais que (a, x, y, b) formem uma PG.


Solução:


Aplicando a fórmula do termo geral da PG, temos,





Então,





















EX-08  

Os lados de um triângulo retângulo apresentam medidas em PG.  Calcular a razão da PG.


Solução:











Por Pitágoras: z2 = y2 + x2   (q=razão)






Fazendo uma pequena substituição muito conveniente: q2 = t


Então temos:


Aplicando a fórmula de Bhaskara, para resolver esta equação de 2º grau, temos:

 









Como q2 = t, então t é positivo,


Para garantir a existência do triângulo, a razão não pode ser negativa, pois, um lado do triângulo não pode ser negativo ; portanto,




EX-09 

Determinar 3 números reais em PG de modo que a soma seja 21 e a soma de seus quadrados seja 189.


Solução:

Vamos considera que os três números são (x, xq, xq²):

x + xq + xq² = 21 x(1 + q + q²) = 21   (I)

x² + (xq)² + (xq²)² = 189   x²(1 + q² + q4) = 189  (II)


Dividindo (II) por (I), temos:






Sabendo-se que:


Então, temos:







Agora vamos subtrair (III) de (I):










Encontramos o termo do meio, portanto,

(x, 6, xq) (6/q, 6, 6q) 6/q + 6 + 6q = 21

6 + 6q + 6q² = 21q 6q² + 6q – 21q + 6 = 0

6q² - 15q + 6 = 0 2q² - 5q + 2 = 0 q² - 5/2q + 1 = 0

↔ (q – 2).(q – 1/2) = 0 ↔ q = 2, ou q = 1/2


Logo:

q = 2 (3, 6, 12)

q = 1/2 (12, 6, 3)


Resposta:  {3, 6, 12}




EX-10 

As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em PG e seu produto é 216. Calcular as medidas dos lados.

Solução:

Seja a PG (x/q, x, xq) dos lados de um triângulo:

(x/q).(x).(xq) = 216 x³ = 216 x³=2³.3³ x = 6

Logo, o produto de outros 2 lados é 216/6 = 36; então temos as seguintes possibilidades: (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6).

Como em um triângulo, nenhum lado pode ser maior que a soma dos outros dois, as possibilidades passam a ser (4,9) que forma uma PG (4, 6, 9), de razão (6/4 = 3/2 ), ou forma outra PG (6, 6, 6), de razão 1.



Resposta:  {4, 6, 9} ou {6, 6, 6}





EX-11 

Determinar a PG formada por 3 números positivos de modo que o 1º termo, a razão, o 3º termo e a soma dos termos formem nesta ordem uma PA.

Solução:

Seja uma PG (x, xq, xq²),

Pelo enunciado:  [x, q, xq², (x + xq + xq²)] = PA.

Vamos determinar os valores de x e q:

A razão da PA = q – x = (x + xq + xq²) – xq²    q – x = x + xq 

q = x(q + 2) x = q/(q+2) (I)



A mesma razão da PA = q – x = xq² - q  (II)




















EX-12 

A soma dos três elementos de uma PA é 15.  Somando respectivamente 1, 4 e 19 ao 1º, 2º e 3º elementos da PA, obtemos três números em PG. Obter a PA.


Solução:

Seja (x-r, x, x+r) a PA desejada.

Portanto, (x-r) + x + (x+r) = 15 3x = 15 x = 5 (I)


[(x-r+1), (x+4), (x-r+19)] é PG (de acordo com o enunciado).


Logo:



















Portanto, temos duas PA’s.

r = 3 (2, 5, 8)

r = -21 (26, 5, ─16)



Resposta: (2, 5, 8), (26, 5, ─16)




EX-13 
Os números a, b, c formam nesta ordem uma PG de razão q.  Determinar o número pelo qual devemos multiplicar o 2º termo para que os três números passem a formar uma PA.


Solução:

PG: (a, b, c)    (a, bx, c) – PA.

Se (a, bx, c) formam PA, então, bx – a = c – bx 2bx = a +c


x = (a+c)/2b








EX-14 

Os lados de um triângulo formam uma PG crescente.  Determinar a razão da PG.

Solução:











Em qualquer triângulo um lado não deve ser maior que a soma dos outros dois lados.
Portanto,

xq² < xq + x q² < q +1 q² - q – 1 < 0


Aplicando Bhaskara:




q² - q – 1 < 0






De acordo com o enunciado PG é crescente, portanto, q > 1


Logo, a razão é igual a:




EX-15  (FAU – 1960)

Dada a equação x³ – 2x² + mx + 8 = 0, determinar m de modo que as raízes formem uma PG. Escrever a PG.

Solução:

Sejam a, aq e aq² raízes da equação acima e estão em PG.

Então,

(x-a).(x-aq).(x-aq²) = 0


Comparando com a expressão x³ – 2x² + mx + 8 = 0, temos:

─((aq²+aq)+a) = ─ 2  (I)

a²q³ + a(aq²+aq) = m   (II)

─ a³q³ = 8  ─ (aq)³= 8  aq = ─ 2  (III)



(III) em (I):

─((aq²+aq)+a) = ─ ((-2q + (-2)+a) = -2 2q+2-a = -2  

a = 2q +4 (IV)


(IV) em (III):

aq = (2q+4).q = 2q²+4q = -2 2q²+4q+2=0 q²+2q+1=0

(q+1)²=0 (q+1) = 0 q= -1  (V)


(V) em (IV):

a = 2q + 4 = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2 a = 2 (VI)


(III), (V) e (VI) em (II):

a²q³ + a(aq²+aq) = q(aq)² +(aq)²+a(aq) = -1.(-2)²+(-2)²+2.(-2) =

= -4+4-4 = -4 = m m = -4 (VII)


Portanto, como resultado; temos:

m = -4


PG (2, -2, 2)




EX-16

Obter a PG de 4 elementos em que a soma dos 2 primeiros é 28 e a soma dos 2 últimos é 175.

Solução:

Seja PG (a, aq, aq², aq³).

a + aq = 28 a(1+q) = 28 (I)

aq² + aq³ = 175 aq²(1+q) = 175 (II)


Fazendo a divisão de (II) por (I), temos












Para q = 5/2:

(I): a(1+q)= a(1+5/2)=a.7/2=28 a = 8

Portanto, PG é: (8, 20, 50, 125)


Para q = -5/2:

(I): a(1+q)= a(1-5/2)=a.(-3/2)=28 a = -56/3


Portanto, PG é: (-56/3, 140/3, -350/3, 875/3)



EX-17

A soma de três números que formam uma PA crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se, somarmos 6 unidades ao último, eles passam a constituir uma PG.

Solução:

Sejam PA crescente (a-r, a, a+r) e PG (a-r, a, a+r+6) procurados.


(a-r) + a + (a+r) = 36 3a = 36 a = 12













Como a PA é crescente r>0, portanto, somente r=6 é valido.

Logo,

Os números procurados são: (6, 12, 18)




EX-18
Provar que se x, y, z estão em PG nesta ordem, vale a relação:


(x + y + z)(x – y + z) = x² + y² + z²

Prova:









Se (x, y, z) estão em PG, então vale: y/x = z/y y² = xz xz = y²


(1º membro) = (x + y + z)(x – y + z) = x² + 2xy – y² + z² =

= x² + 2 – y² + z² = x² + y² + z² = (2º membro)    c.q.d




EX-19
Se a, b, c, d estão em PG nesta ordem, então

(b-c)² = ac + bd – 2ad.



Demonstração:






(1º membro) = (b-c)² = b² - 2bc + c² = (I)

Se (a, b, c, d) estão em PG, então valem as seguintes relações:

b/a = c/b b² = ac

c/b = d/c c² = bd

b/a = d/c bc = ad


(I) = ac – 2ad + bd = ac + bd – 2ad = (2º membro) c.q.d.




EX-20
Provar que se os números a, b, c, d formam nesta ordem uma PG, então vale a relação (b-c)²+(c-a)² + (d-b)² = (a-d)².



Prova:








(1º membro) = (b-c)²+(c-a)² + (d-b)² =

= b²-2bc+c²+c²-2ac+a²+d²-2bd +b² =

= 2b²+2c²-2bc-2ac-2bd+a²+d² = (I)

Como (a, b, c, d) estão em PG, valem as seguintes relações:

b/a = c/b   b² = ac

d/c = c/b   c² = bd

d/b = c/a ad = bc


(I) 2ac+2bd-2bc-2ac-2bd+a²+d² = -2bc+a²+d² =


= -2ad+a²+d² = a²-2ad+d² = (a-d)² = (2º membro) c.q.d.