Logaritmo Exercícios Resolvidos - I

1) Determinar o logaritmo de √2 no sistema de base 4.

Solução:

Resposta: x=1/4

2) Em que base a tem-se log_a 256 = 4?

Solução:

Como 0 < a ≠ 1, portanto, a = - 4 não convém,
logo, a resposta é: a = 4

3) Determinar x para que log₂ (x²-x-1) exista:

Solução:

As raízes da equação x²-x-1=0 são:

Portanto, a solução procurada é:

Vejamos no gráfico:

4) Determinar os valores de x para os quais a função y=log (x³-3x²+x+1) é definida.

Solução:
A função é definida para todo x real tal que: x³ - 3x + x + 1 > 0

Portanto,

Isto é, o domínio de existência da função dada é:

5) Qual é o domínio da função y=log_x (x²+x-6) ?

Solução:
Condições de existência da função:
(I) x²+x-6 >0 (Logaritmando)
(II) 0<x≠1 (Base)

As raízes da equação x²+x-6=0 são 2 e -3, então,

Fazendo a intersecção dos conjuntos de valores de x que satisfazem (I) com os que servem em (II), temos:

Portanto,

6) Determinar a base na qual o logaritmo de quatro menos a metade da base é 1/2.

Solução:

Temos de impor duas condições:

(I)

(II)

Existe solução se e somente se as condições (I) e (II) forem satisfeitas, então:

Portanto, resposta: x=4




7) Resolver a equação 

Solução:

Resposta: S={4,-2}

8) Resolver a equação

Solução:

Resposta: S={32}




9) Provar que se

Solução:

Temos as seguintes implicações:

Logo, está provado.

10) Resolver a equação:

Solução:

Logaritmo

Chama-se logaritmo de um número b ϵ R⁺ em relação a uma dada base

a ϵ R⁺- {1} o expoente que se deve dar à base a, a fim de que a potência obtida seja igual a b.

Em símbolos: 

Os números negativos e o zero não têm logaritmo.

As nomenclaturas dos números são:

b = logaritmando, ou antilogaritmo de c na base a.

a = base

c = logaritmo

Consequências da definição

Decorrem da definição de logaritmo as seguintes propriedades para

A função logarítmica é função inversa da função exponencial:

O sistema de logaritmos neperianos:

Possui como base o número irracional e (e = 2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com a condição x > 0. Ele pode ser expresso por: