domingo, 10 de setembro de 2017

FUVEST-Polinômios-Ex.Resolvidos

EX-01 (FUVEST 2001)
Considere dois números reais λ e μ tais que λ ≠ -1, λ ≠ 1 e λμ ≠ 0.

a) Determine uma relação entre λ e μ, para que as equações polinomiais λx³-μx²-x-(λ+1)=0 e λx²-x-(λ+1)=0 possuam uma raiz comum.

b) Nesse caso, determine a raiz comum.

Solução:


Considerando α a raiz comum, então, temos:


Substituindo em (II), temos:



Logo, 



b)
Como



EX-02 (FUVEST 2002)
As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m, onde m é um número real, estão em progressão aritmética.Determine

a) o valor de m.

b) as raízes desse polinômio.


Solução:
Lembrando que: As relações de Girard responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes, para equação de 3º grau são:

x1 + x2 + x3 = – b/a 

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a 

x1 * x2 * x3 = – d/a 

Sendo que (x1, x2 e x3) são as raízes e (a, b e c) são os coeficientes da equação.


a)
Considerando (α – r, α, α + r) raízes da equação em P.A. de razão r.

Pela relação de Girard, temos:


Logo, 1 é uma raiz do polinômio e, portanto, 



b)
Pela relação de Girard, temos:




EX-03 (FUVEST 2004)
O produto de duas raízes do polinômio p(x) = 2x³ - mx² + 4x + 3  é igual a -1. Determinar

a) o valor de m.

b) as raízes de p.


Solução:

a)
Pela Relação de Girard:
Sejam x1, x2 e x3 são raízes da equação, então podemos escrever que:

Sendo d e a são coeficientes, conforme a equação abaixo:

Do enunciado:

Comparando (1) e (2), temos:

Considerando que:

Então, temos:


Logo, podemos encontrar o valor de m:



b)

Uma das raízes do polinômio é 3/2 e m = 7 (de item anterior).

Portanto, o polinômio fica no seguinte formato:



Vamos fazer algumas manipulações algébricas convenientes para chegar do 1º membro ao 2º membro.


Aplicando Báskara para determinar as raízes x1 e x2:



Portanto, as raízes do polinômio são:




 Outra maneira de resolver o item b:

Realizando divisão de polinômios, para fatorar:



Daqui em diante é igual ao procedimento anterior.



EX-04 (FUVEST 2008)
Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5.  A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5.  Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine

a) a progressão aritmética.

b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.


Solução:

a)
Sejam as raízes por α1, α2 e α3, com α1< α2 e α2< α3, temos α1 = α2 – r e α3 = α2 + r, em que r é a razão da progressão aritmética (α1, α2, α3). Temos:

Do enunciado:

Portanto, temos todas as raízes:


b)

O polinômio possui o seguinte formato:


Já conhecemos todas as raízes do polinômio α1; α2; α3.

De relação de Girard, temos a seguinte relação:



EX-05 (FUVEST 2011)
As raízes da equação do terceiro grau x³ – 14x² + kx – 64 = 0 são todas reais e forma uma progressão geométrica. Determine

a) as raízes da equação;

b) o valor de k.


Solução:

Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação x³ – 14x² + kx – 64 = 0 e q a razão da progressão geométrica.

Então, podemos escrever:



Pela relação de Girard do produto das raízes, temos:



Sendo 4 uma das raízes da equação, tem-se:



Assim, a equação fica:


Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, tem-se:



Logo, podemos escrever:
cujas raízes são: 2, 4, 8.


Respostas:
a)      (2, 4,  8)
b)      56





EX-06 (FUVEST 2012)
O polinômio p(x) = x4 + ax³ + bx² + cx – 8 em que a, b e c são números reais, tem o número complexo (1 + i) como raiz, bem como duas raízes simétricas.

a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).

b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.

Solução:

Nota: O simétrico de um número complexo no plano complexo (= plano de Argand-Gauus) em relação ao eixo real é o conjugado. A soma e o produto de número complexo com seu conjugado têm parte imaginária nula.


Considerando (1+i, 1 – i, β, ‒ β) raízes do polinômio p(x) = x4 + ax³ + bx² + cx – 8.
Pela relação de Girard do produto das raízes, temos:


Portanto, o polinômio na forma fatorada fica:


Por comparação, temos os valores de a, b e c.



b)
O novo polinômio (P’(x)) tem raízes: (1, -3, i, -i).

Assim, 


Respostas:




EX-07 (FUVEST 2013)
Considere o polinômio p(x) = x4 + 1.

a) Ache todas as raízes complexas de p(x).

b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.

Solução:

a)
As raízes quartas de x4 são do tipo:


b)
Produto de dois trinômios de segundo grau com coeficientes reais.

Montando dois trinômios de segundo grau, de forma conveniente, para que os coeficientes sejam todos reais.


Portanto, o primeiro trinômio é:




Portanto, o segundo trinômio é:

Logo, o polinômio fatorada é:


Respostas:



EX-08 (FUVEST 2014)
Os coeficientes a, b e c do  polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c são reais.  Sabendo que -1 e 1 +αi, com α > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x-1) é 8, determine

(a)  valor de α;              

(b) o quociente de p(x) por (x + 1).
 i é a unidade imaginária, i2 = -1 

Solução:

a)


Então,


Se p(x) dividido por (x – 1), o resto é 8, então,


b)



Respostas:



EX-09 (FUVEST 2016)
As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade

é válida para todo x ϵ R.

a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações satisfeito pelas constantes A, B, C e D.

b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.


Solução:
a)

Comparando o 1º membro com o 2º membro, temos o sistema de equação solicitado:


b)
Resolvendo o sistema por Laplace e Sarrus:






Calculando o valor de A:




Calculando o valor de B:





Calculando o valor de C:




Calculando o valor de D:



Outra maneira de resolver o item b: Por escalonamento




De (4):

Em (3):



D e C em (2):




D em (1):