sábado, 24 de junho de 2017

FUVEST-Matrizes e Determinantes Ex.Resolvidos

Ex-01 (FUVEST 2000)
Dois colecionadores de selos têm, juntos, 500 selos. Cada colecionador comprou um álbum para colocar seus selos.  Os dois álbuns eram idênticos, tendo o mesmo número de páginas. Se o primeiro colecionador colocar exatamente 21 selos em cada página, ele vai conseguir colocar todos os seus selos e usar todas as páginas do álbum. Se o segundo colecionador colocar 20 de seus selos em cada página do álbum, sobrarão alguns selos. Caso ele coloque 23 selos em cada página, sobra pelo menos uma, totalmente vazia, podendo haver ainda uma outra página com menos de 23 selos.
Quantas páginas há no álbum?

Solução:   


Para organizar melhor o enunciado, vamos fazer uma tabela:


Na forma algébrica fica:

De equações 1 e 3, temos:

De equações 2 e 4, temos:



Ex-02 (FUVEST 2001)
A diferença entre dois números inteiros é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.

Solução:




Resolvendo por Báskara, temos:


Portanto, x = 31 e y = x + 10 = 31 + 10 = 41 y = 41





Ex-03 (FUVEST 2001)
Dado um número real a, considere o seguinte problema:
“Achar números reais x1, x2, ..., x6, não todos nulos, que satisfaçam o sistema linear: (r-2)(r-3)xr-1+((r-1)(r-3)(r-4)(r-6)a+(-1)r)xr+(r-3)xr+1=0” para r = 1, 2, 3,..., 6, onde x0 = x7 = 0”.

(a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial.
(b) Para que valores de a o problema acima tem solução?
(c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com x1=1? Se existir, determine tal solução.


Solução:
a)

r = 1

r = 2



r = 3



r = 4



r = 5



r = 6




Portanto, temos:



Logo a forma matricial do sistema linear é:



b)
Como todos os termos independentes são iguais a zero, então temos um sistema linear homogêneo.
Para que tenhamos soluções diferentes da trivial, basta termos o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo (=zero).
Assim,

Aplicando o Teorema de Laplace, sucessivamente, temos:



c)




Substituindo os valores x2, x3 e a nas demais equações, tem-se:

Resposta:
Sim existe, a = 1/8 e a solução é (1, 1/2, 0, 0, 0, 0)




Ex-04 (FUVEST 2002)
Carlos, Luís e Silvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Silvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Silvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.
(a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?
(b) Qual o rendimento da aplicação de risco?


Solução

Sejam x, y e z os valores que possuíam inicialmente Carlos, Luís e Sílvio, respectivamente; w o montante resultante da aplicação de riscos realizada por Sílvio.


Então temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema, tem-se:


Portanto, o rendimento anual da aplicação de risco foi de:



Este rendimento anual em percentual foi de:


Resposta:
a) Inicialmente, Carlos tinha R$ 20 mil reais, Luís R$ 30 mil reais e Silvio R$ 50 mil reais.

b) O rendimento anual é igual a 60%.




Ex-05 (FUVEST 2003)
Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custam 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

Solução:

Fazendo as seguintes considerações:
M = quantidade de caixas de maçãs;
P = quantidade de caixas de peras;
L = quantidade de caixas de laranjas.

Então, temos a seguintes sistema de equações:



Resolvendo o sistema para calcular as quantidades de caixas:


Portanto, tem-se:

Maçã = 40*50 = 2000
Pêra = 50*60 = 3000
Laranja = 50*100 = 5000



Ex-06 (FUVEST 2004)
Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 Km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro.


Solução:
Do enunciado: a cidade B está entre as cidades A e C, sendo a distância entre as cidades B e C é 2/3 da distância entre as cidades A e B.

Fazendo um croqui, tem-se:
Podemos obter as seguintes equações:


(II) em (I), tem-se,


Em (II) para obter o valor de y que é o parâmetro solicitado pelo problema:


Resposta: O morador de B deve percorrer 60 Km até o ponto de encontro (P).




Ex-07 (FUVEST 2005)
Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00 e unidades do produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado.


Solução:

Seja
        x = quantidade de A
        y = quantidade de B
        w = preço unitário de B
        w + 2 = preço unitário de A

Logo:
        x + y = 26    y = 26 x  (I)
        x.(w+2) = 96   (II)
        y.w = 84 w = 84/y   (III)


(I) e (III) em (II):


Aplicando Báskara, tem-se


Portanto, foram compradas 12 peças de A.





Ex-08 (FUVEST 2005)
Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3x3
tem posto 1.

Solução:


A primeira linha é não nula e observa-se que a segunda linha é múltiplo de 2 e a terceira linha é múltiplo de 1. Então, temos a seguinte sistema de equações:

Subtraindo (III) de (II):


Resposta: a = 1, b = 3 e c = 2





Ex-09 (FUVEST 2006)

Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:

(a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear;
(b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais?
(c) Calcule as soluções do sistema quando sen²a = 1 e cos²c = 1/5


Solução:

(a)

Matriz dos coeficientes é:

Cálculo do determinante:



Aplicando a Regra de Sarrus, tem-se:



(b) Sistema linear admite soluções não triviais, se e somente se, determinante igual à zero.

Resposta:




(c)

Substituindo, temos:


Resolvendo o sistema:


Resposta:



Ex-10 (FUVEST 2007)
Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria.  Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria?


Solução:

Sejam A, L, M as quantias (em reais) que Amélia, Lúcia e Maria possuem, respectivamente.

Então, podemos escrever:



Resolvendo o sistema, temos:


Resposta:
Amélia possui R$ 24,00; Lúcia possui R$ 18,00; e Maria possui R$ 36,00.




Ex-11 (FUVEST 2008)
João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hamburgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hamburgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00.
Sabendo-se que preço de um hambuguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizam R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.



Solução:
Seja h = hamburger, s = suco e c = cocadas
(h,s,c são preços unitários)


Então, temos o seguinte sistema de equações:


M = Matriz incompleta

 


Calculando o preço unitário do hamburger:



Calculando o preço unitário do suco:



Calculando o preço unitário da cocada:



Resposta:
Os preços são: um hamburger – R$ 4,00; um suco – R$ 2,50; e uma cocada – R$ 3,50.





Ex-12 (FUVEST 2009)
Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por 

Desse modo:
(a) Resolva o sistema para m = 1.
(b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
(c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x,y) = (α,1), sendo α um número irracional.

Solução:

a) m = 1


Temos infinitas soluções do tipo (k, -2K), para qualquer k.


b) O sistema possui infinitas soluções, se e somente se,



c) O sistema homogêneo admita solução de forma (x,y) = (α,1), sendo α um número irracional, o sistema deverá ser possível e indeterminado.
Os possíveis valores de m para que isso ocorra são os resultados obtidos no item anterior (item b).

Assim, tem-se:

Para m = 1, a solução não é de forma (α,1) com α irracional, pois 4α+2.1².1 = 0 α = -1/2 que é racional.


Para 

a solução é de forma (α,1) com α irracional desde que:





Ex-13 (FUVEST 2013)
Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original.

(a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
(b) Quanto recebeu cada um deles?


Solução:
Inicialmente, temos:
x = número de trabalhadores
y = quantia que cada um receberá


Três trabalhadores desistiram:

x’ = (x 3) = número de trabalhadores que permaneceram, portanto,


Obtendo o valor de x: