Matriz inversa

Inversão por sistemas lineares

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular, se e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero.

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método por sistemas lineares. Esse método parte da definição de que o produto de uma matriz inversível de ordem n pela sua inversa também de  ordem n é a matriz identidade I_n, isto é:

Primeiro passo:  Verificar se a matriz admite inversa, isto é, se ela é ou não inversível (ou não singular). Para isso calculamos o determinante da A.

Segundo passo:

Montar a equação   

                        
e resolver os sistemas de equações

lineares, determinando a matriz  A^-1, ou inv(A).

Multiplicando as matriz A e A^-1, obtemos:

Com o resultado da multiplicação, obtemos uma igualdade de matrizes em que cada elemento das matrizes se corresponda, obtemos assim, dois sistemas de duas equações.

Resolvendo os dois sistemas de equações obteremos os valores de x, y, z e w, que são os elementos da matriz inversa procurada.

Exemplo:

Determinar a matriz inversa de A.

1º Passo: 

Det(A) = 3.5 – 8.2 = -1 ≠ 0, portanto, existe matriz inversa de A.

2º Passo:

Efetuando a multiplicação:

Por comparação temos que:

Resolvendo os dois sistemas temos: x = -5, y = 2, z = 8 e w = -3

Portanto,

Divisão entre matrizes

A divisão é realizada, fazendo-se a multiplicação com a matriz inversa.

Portanto,todas as regras de multiplicação entre matrizes devem ser obedecidas.

Seja uma equação A.X = B, onde A e B são matrizes conhecidas e X é a matriz procurada (matriz incógnita).

Multiplicando ambos os membros da equação por A^-1 temos que:

A.X = B  →  A^-1.A.X = A^-1.B →  X = A^-1.B

É importante lembrar que a multiplicação de matriz não é comutativa, isto é:

A^-1.B ≠ B.A^-1

Portanto, a equação A.X = B é diferente de X.A = B

Matrizes Adição e Subtração

Adição

Na adição de duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.

Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.

Exemplo:

Genericamente, temos:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com C de ordem m x n.

Subtração

Na subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz diferença (=resultado da subtração), também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.

Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.

Exemplo:

Genericamente, temos:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A – B = C, com C de ordem m x n.

REGRA DE SARRUS – Cálculo do determinante 3 x 3

A Regra de Sarrus é um método muito utilizado para o cálculo de determinante de matrizes quadradas de ordem 3.

No cálculo do determinante 3×3 há outras diagonais além da diagonal principal e da diagonal secundária, entretanto a idéia é a mesma do determinante 2×2.

Multiplicamos os elementos da diagonal principal e de cada diagonal acima dela; estes valores não trocam de sinal. Os valores da diagonal secundária e de cada diagonal abaixo dela são multiplicados e trocam de sinal.

Copiamos (a primeira e a segunda) colunas à direita da matriz apenas para facilitar a visualização das outras diagonais, mas, isto não é necessário.

Vamos aplicar a regra de SARRUS sem copiar (a primeira e a segunda) colunas.

Multiplicação de matrizes

Podemos afirmar que o produto das matrizes A = (a_ij) _{m x p}  e  B = ( b_ij) _{p x n}  é  igual a matriz C = (c_ij) _{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Ilustrando com um exemplo:

Vamos multiplicar as matrizes A e B, para obter cada c_ij :

1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna

Portanto:

Na multiplicação de matrizes (geralmente) não vale a propriedade comutativa.

Se invertermos a multiplicação anterior, temos que:

Logo, observa-se que: A.B ≠ B.A

Por definição: só existe o produto A.B de duas matrizes, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Propriedades

Valem as seguintes propriedades, desde que as condições de existência para multiplicação de matrizes sejam satisfeitas.

1)     Associativa: (A.B).C = A.(B.C);

2)     Distributiva em relação à adição: A.(B+C) = A.B+A.C, ou (A+B).C = A.C+B.C;

3)     Elemento neutro: A.I_n = I_n.A = A, onde I_n é a matriz identidade de ordem n.

As seguintes observações são importantes:

a)     A propriedade comutativa geralmente não é válida para multiplicação de matrizes;

b)     A matriz zero (=anulamento) do produto. 

Em outras palavras: seja 0_{m x n}  uma matriz nula (zero), A.B = 0_{m x n}   não implica, necessariamente, que  A = 0_{m x n}   ou  B = 0_{m x n}  .

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada (de ordem n), se existir uma matriz A’, (de mesma ordem, tal que A.A’ = A’.A = I_n, então A’ é matriz inversa de A.

Então, representa-se a matriz inversa de A por A^-1.