Inversão por sistemas
lineares
Uma matriz é chamada de inversível ou não singular, se e
somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode
ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero.
Um método para determinar a matriz inversa é chamado de
método por sistemas lineares. Esse método parte da definição de que o produto
de uma matriz inversível de ordem n pela sua inversa também de ordem n é
a matriz identidade In, isto é:
Primeiro passo: Verificar se a matriz admite inversa, isto é,
se ela é ou não inversível (ou não singular). Para isso calculamos o
determinante da A.
Segundo passo:
Montar a equação
e resolver os sistemas de equações
lineares, determinando a matriz A-1,
ou inv(A).
Multiplicando as matriz A e A-1, obtemos:
Com o resultado da multiplicação, obtemos uma igualdade de
matrizes em que cada elemento das matrizes se corresponda, obtemos assim, dois
sistemas de duas equações.
Resolvendo os dois sistemas de equações obteremos os valores
de x, y, z e w, que são os elementos da matriz inversa procurada.
Exemplo:
Determinar a matriz inversa de A.
1º Passo:
Det(A) = 3.5 – 8.2 = -1 ≠ 0, portanto, existe matriz inversa
de A.
2º Passo:
Efetuando a multiplicação:
Por comparação temos que:
Resolvendo os dois sistemas temos: x = -5, y = 2, z = 8 e w
= -3
Portanto,
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