Matemática-2015: Funções Exponenciais Exercícios Resolvidos-2

EX-01 (ENEM-2007)

A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.

O gráfico acima representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica.
Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30 min. será aproximadamente de

a) 10% b) 15% c) 25% d) 35% e) 50%

Justificativa (soluções):

Pelo enunciado, a meia vida de amoxicilina é de 1 hora, portanto, o eixo das abscissas é, além de indicar o número de meias-vidas, os números indicam o número de horas percorrido.

Portanto, pelo gráfico, temos que:

O tempo 1,5 h (do eixo das abscissas) corresponde aos 35% no eixo das ordenadas.

Outra maneira:

Vamos supor que o gráfico dado, apresenta a grade com menos precisão. Então, podemos considerar que o intervalo entre as meias vidas como uma reta:

Outra maneira:

(para este caso é preciso a utilização de uma calculadora científica)

Sabemos que a equação genérica para o decaimento é uma função exponencial:

Onde Q(t) = quantidade da substância no corpo em instante qualquer t;

Q(t₀) = quantidade inicial da substância;

k = constante de decaimento

t = tempo

Do enunciado tempo de meia vida é 1 hora, isto é, t_1/2= 1 h; então, Q(t₀) = 100%, Q(t_1/2) = 50%.

Logo, podemos calcular o valor de k.

Logo, a equação de decaimento fica:

Agora podemos calcular Q(t=1,5):

EX-02 (ENEM-2013)

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o “cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, et al. Cálculo e aplicações.

São Paulo: Edgard Bücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

a) S = kM b) S = kM^1/3c) S = k^1/3M^1/3 d) S = k^1/3M^2/3 e) S = k1/3M²

Solução (Justificativa):

“cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. Esta asserção algebricamente é:

Portanto, podemos elevar os ambos os membros por 1/3, ou extrair a raiz cúbica (que é a mesma coisa).

Ou podemos fazer da seguinte forma:

EX-03 (ENEM-2011)

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_W), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_W e M₀ se relacionam pela fórmula:

Onde M₀ é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_W = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.

Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

U.S.

GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.

Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

a) 10 ^-5,10 b) 10 ^-0,73 c) 10 ^12,00 d) 10 ^21,65 e) 10 ^27,00

Solução (Justificativa):

Dado: Kobe → M_W = 7,3

EX-04 (ENEM-2013)

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de Césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do Césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão

, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100

Solução (Justificativa):

De enunciado: meia vida do Césio-137 é 30 anos, então algebricamente:

M(t=30) = A/2