EX-01
Determinar uma PG de 4
elementos em que a diferença entre os extremos seja 130 e a diferença entre os
meios seja 30.
Solução:
Seja a1=x e
razão=q:
Então,
PG (x, xq, xq², xq³)
xq³ - x = 130 → x(q³ - 1)
= 130 → x(q – 1)(q² + q + 1) = 130
(1)
xq² - xq = 30 → xq(q – 1)
= 30 (2)
Portanto, são duas PGs:
(q=3) em (2):
x.3.(3-1) = 30 → 6.x=30 → x=5 → (5, 15,
45, 135)
(q=1/3) em (2):
x.1/3.(1/3-1) = 30 →
x.(-2/9)=30 → x=-135 → (-135, -45, -15, -5)
EX-02
Provar que se m, n, p, q
formam nesta ordem uma PG, então vale a relação:
(m² + n² + p²)(n² + p² +
q²) = (mn + np + pq)².
Solução:
Fazendo m,
n=my, p=my², q=my³, isto é, a1=m e razão=y.
Então.
(1º membro) = (m² + n² + p²)(n² + p² +
q²) =
= [m² + (my)² + (my²)²].[(my)² + (my²)² +
(my³)²] =
= [m² + m²y² + m²y4].[m²y² + m²y4
+ m²y6]=
= m².[1 + y² + y4].m²y².[1 + y² + y4]
=
= m4.y².[1 + y² + y4]² =
(m²y)². [1 + y² + y4]² =
= [m²y.[1 + y² + y4]]² = (m²y +
m²y³ +m²y5)² =
=
(mn + np + pq)²
= 2º membro
Portanto,
está provado.
Outra maneira:
(m, n, p, q)
PG.
Então valem as seguintes relações:
n² = pm; p² = qn;
qm = pn
(1º membro) = (m² + n² + p²)(n² + p²
+ q²) =
(fazendo
a multiplicação...)
=
m².n²+m².p²+m².q² + (n²)²+n².p²+n².q² + p².n²+(p²)²+p².q²
=
(mn)²+(mp)²+(mq)² + (n²)²+(np)²+(nq)² + (np)²+(p²)²+(pq)²
(substituindo:
n² = pm, p² = qn, qm = pn)
=
(mn)²+(mp)²+(pn)² + (pm)²
+(np)²+(nq)² + (np)²+(qn)²+(pq)² = (mn)² + (np)²
+ (pq)² + 2.(mp)² + 2.(np)² + 2.(nq)² =
=
(mn)² + (np)² + (pq)² + 2mpmp + 2npnp + 2nqnq =
(substituindo:
n² = pm, p² = qn, qm = pn)
=
(mn)² + (np)² + (pq)² + 2mpn² + 2npqm + 2nqp² =
=
(mn)² + (np)² + (pq)² + 2mpnn + 2npqm + 2nqpp =
=
(mn + np +
pq)² = (2º membro) – c.q.d.
EX-03
Inserir
(=interpolar) 4 meios geométricos entre 486 e 2.
Solução:
Considerando que b = 2
(último termo) e a = 486 (primeiro termo), então, temos:
a1=486, an=2
e n=k+2, k=4 (números de meios a inserir)
Sabendo-se que vale a relação:
q(k+1) = b/a, então,
temos:
q5 = 2/486 → q5=1/243
→
q5 = (1/3)5 → q
= 1/3
Logo:
Resposta: (486,
162, 54, 18, 6, 2)
(4 meios)
EX-04
Obter as geratrizes das
dízimas periódicas 0,474747....e 1,53333....
Solução:
Lembrando que geratrizes
de uma dízima periódica é a relação p/q
tal que dividindo-se p por q obtém-se a dízima.
Primeira parte:
0,47474747... = 0,47 +
0,0047 + 0,000047 + ... =
Escrevendo de outra forma
temos,
Segunda parte:
1,53333... = 1,5 + 0,03 +
0,003 + 0,0003 +.... =
Escrevendo de outra forma
temos,
EX-05
Obtenha 4 números a, b, c,
d tais que:
(1)
a < d;
(2)
a, c, d formam nesta ordem uma PA e sua soma é 15;
(3)
a, b, d formam nesta ordem uma PG e seu produto é 64.
Solução:
De (2):
Seja r a razão da PA,
então, podemos escrever que: c-r, c, c+r, onde a=c-r e d=c+r.
Logo: (c-r) + c + (c + r) = 15 → 3c = 15 → c = 5
De (3):
De forma análoga ao
anterior; seja q a razão da PG, então, podemos escrever que: b/q, b, bq, onde
a=b/q e d=bq.
Logo: b/q * b * bq = 64 → b³ = 64 → b³ = 4³ → b = 4
Voltando para (2): a + c +
d = 15 → a + 5 + d = 15 → a
+ d = 10
Voltando para (3): a*b*d
= 64 → a*4*d = 64 → a * d = 16
Temos aqui um sistema de 2
equações a 2 incógnitas.
Resolvendo a equação:
a + d = 10 → a = 10 – d
a*d = 16 ↔ (10 – d)*d
= 16 ↔ 10d – d² = 16 ↔ - d² + 10d – 16 = 0 ↔ d² - 10d +16 = 0 ↔ (d – 2).(d
– 8) = 0 ↔ d = 2, ou d = 8
Então:
d = 2 → a = 10 – d
= 10 – 2 = 8 → a
= 8
d = 8 → a = 10 – d
= 10 – 8 = 2 → a
= 2
Como o enunciado exige que
a < q (1), temos:
a = 2 e d = 8
Resposta: 2, 4, 5, 8
EX-06 (FAM-1965, Faculdade Mirandópolis)
Sabendo-se que x, x+9 e
x+45 estão em PG; determinar o valor de x.
Solução:
Resposta: 3
EX-07
A sequência (2x+1, 3x-6,
4x-8, ...) é uma PG. Calcular o seu quarto termo.
Solução:
Portanto, temos duas
possibilidades:
x = 2 → (5, 0, 0,
0,...)
q=0/5=0
x= 22 → (45, 60,
80, 320/3,...)
q=60/45=4/3
EX-08
Numa PG são dados os
elementos ap=3a e a(p+2)=12a e sabe-se que dois termos
consecutivos dessa PG tem sinais contrários. Calcular o termo a(p+7).
Solução:
Aplicando a fórmula do
termo geral,
Temos:
Pelo enunciado: termos
consecutivos são de sinais contrários.
Isso acontece se somente
se, a razão for negativa.
Logo: q=-2
Calculando a(p+7):
EX-09
Calcular o 134º termo da
sequência (-3, 5, -6, 10, -12, 20, -24, 40,...).
Solução:
Podemos observar que a
sequência dada não é PG e (nem PA); é apenas uma sequência qualquer, porém,
(1) Se tomarmos os
termos de posições (=ordem) ímpares (-3, -6, -12, -24,...) é uma PG de q= 2.
(2) Da mesma
forma; se tomarmos os termos de posições (=ordem) pares (5, 10, 20, 40,...) é
uma PG de q =2.
Logo,
o termo 134º da sequência dada pertence ao grupo (2) é o 67º termo desse grupo,
pois 134/2=67.
Então, utilizando a
fórmula do termo geral, para o grupo (2), temos:
(n=67, a1=5 e
q=2)
Portanto, o 134º termo da sequência dada é 5*222
EX-10 (FAM-1966)
Numa progressão geométrica
de 6 termos a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem 546.
Determinar a progressão.
Solução:
Seja a PG de 6 termos (a1,
a2, a3, a4, a5, a6),
então temos:
Calcular a razão q dividindo (2) por (1):
Substituindo em (1) temos
a1:
Logo, a PG procurada é:
(2, 6, 18, 54, 162, 486)
