Desafios

Do livro-Matemática - Contexto & Aplicações (Ensino Médio) – Dante, Luiz Roberto: Página 20

Trata-se de uma revisão de assuntos vistos no oitavo ano do curso fundamental.

Clique aqui para relembrar.

EX-01 (UNIFOR-CE)

Determine o valor da expressão 

Para x = 4 e y = √3.

Solução:

Aplicando o conceito de produtos notáveis temos que:

Portanto, x² - y² = (4)² - (√3)² = 16 – 3 = 13

Resposta: 13

EX-02 (CEFET-CE)

Se

O valor de

Solução:

EX-03 (OBM)

Quantos são os pares (x,y) de inteiros positivos tal que

 

Solução:

Podemos escrever que:

Então, temos que:

 e

Podemos afirmar que x é sempre positivo, porém, y é positivo, se somente se, 

Portanto,

Resposta: 1004 pares (x,y)

Progressão Aritmética – Ex.Resolvidos-2

EX-01 (ITA 1966)

Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10 000, que não sejam divisíveis nem por 5 e nem por 7?

Solução: (passo a passo)

A idéia é calcular todos os inteiros que existem e depois subtrair os inteiros múltiplos de 5 e 7.

Cálculo de todos os inteiros:

a_n = a₁ + (n - 1)r
a_n = 10 000

a₁ = 1000

r = 1

Portanto,
10000 = 1000 + (n - 1)1
10000 = 999 + n
n = 9001

Cálculo do número de múltiplos de 5:
a_n = a₁ + (n - 1)r

a_n = 10 000

a₁ = 1000

r = 5

Portanto,
10000 = 1000 + (n - 1)5
10000 = 1000 + 5n - 5
n = 1801

Cálculo do número de múltiplos de 7:
a_n = a₁ + (n - 1)r

Determinando o primeiro inteiro múltiplo de 7 depois de 1000:

1000/7 = 142,86 → 143 x 7 = 1001

Determinando o último inteiro múltiplo de 7 antes de 10 000:

10000/7 = 1428,57 → 1428 x 7 = 9996

Logo,

a_n = 9996

a₁ = 1001

r = 7

Portanto,
9996 = 1001 + (n - 1)7
9996 = 994 + 7n
n = 1286

Cálculo do número de múltiplos de 5 e de 7 compreendidos entre 1000 e 10000. Mostraremos o motivo deste cálculo no final.

Determinando o primeiro inteiro múltiplo de 35 depois de 1000:

1000/35 = 28,57 → 29 x 35 = 1015

Determinando o último inteiro múltiplo de 35 antes de 10 000:

10000/35 = 285,71 → 285 x 35 = 9975

Logo,

a_n = 9975

a₁ = 1015

r = 35

Portanto,

an = a1 + (n - 1)r
9975 = 1015 + (n - 1)35
9975 = 980 + 35n
n = 257

Para o cálculo da quantidade de números compreendidos entre 1000 e 10000 que não são divisíveis nem por 5 e nem por 7.

N = 9001 - 1801 - 1286 + 257

N = 6171

Notamos que somamos 257 números que são divisíveis por 5 e 7 simultaneamente. Somamos porque quando subtraímos o números divisíveis por 5 e 7, estamos subtraindo duas vezes a quantidade 257. 
Vejamos na figura:

EX-02

Provar que se (a, b, c) estão em PA nesta ordem, então, vale a relação:

2(a³+b³+c³) + 21abc = 3(a+b+c)(ab+bc+ca)

Solução:

Como (a, b, c) estão em PA, temos que:

a + b + c = 3/2 (a + c)

b = (a + c)/2

Vamos considerar y a seguinte expressão:

y = 2(a³+b³+c³) + 21abc - 3(a+b+c)(ab+bc+ca)

Chegamos à conclusão que (1) = (2)

Portanto, fica demonstrado que a relação:

2(a³+b³+c³) + 21abc = 3(a+b+c)(ab+bc+ca) vale, quando (a, b, c) é uma PA nesta ordem.

EX-03

Determinar cinco números em PA sabendo que sua soma é -10 e a soma dos seus quadrados é 60:

Solução:

Vamos adotar a seguinte sequência:  (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Soma: (x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r) = - 10   (I)

Soma dos quadrados: (x-2r)²+(x-r)²+x²+(x+r)²+(x+2r)² = 60   (II)

Sistema de equações (I) e (II):

De (I) temos que:  5x = - 10 → x = - 2

De (II) temos que: 5x² + 10r² = 60 → 5.(- 2)² + 10r² = 60 → 20 + 10r² = 60 → 10r² = 40 → r = ± 2

Logo, temos:

x = - 2 e r = 2 → (-6, -4, -2, 0, 2)

x = - 2 e r = - 2 → (2, 0, -2, -4, -6)

O enunciado pediu os números, portanto, a ordem não importa, então:

Resposta: { 2, 0, - 2, - 4, - 6 }

EX-04

Qual é a soma dos 100 primeiros números ímpares positivos? E a soma dos n primeiros?

Solução:

A sequência dos números ímpares positivos (1, 3, 5, 7, 9, ...) é uma PA de a₁ = 1 e r = 2

Logo, o 100º termo é:

a₁₀₀ = a₁ + (100 – 1).r → a₁₀₀ = 1 + (100 – 1).2 = 199 → a₁₀₀ = 199

Portanto, a soma dos 100 primeiros é:

Calculando a soma dos n primeiros termos:

O enésimo termo é:  a_n=a₁+(n-1).r → a_n = 1+(n-1).2 = 2n -1 → a_n = 2n – 1

EX-05

Qual é a soma dos múltiplos positivos de 8 formados por três algarismos?

Solução:

Determinando o primeiro número de 3 algarismos que é múltiplo de 8:

100/8 = 12,5 → 13x8 = 104

Determinando o último número de 3 algarismos que é múltiplo de 8:

999/8 = 124,875 → 124x8 = 992

Portanto, os múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos são:

(104, 112, 120, 128, ........, 992)

Logo: a₁ = 104, n_a = 992  e  r = 8

Calculando o número de elementos da PA.

an = a1 + (n – 1).r → 992 = 104 + (n – 1).8 → 992 = 104 + 8n – 8 →

896 = 8n → n = 112

Calculando  a soma dos termos da PA:

EX-06

Qual é a soma dos números divisíveis por 7, compreendidos entre 1000 e 1500?

Solução:

Determinando os números múltiplos de 7 compreendidos entre 1000 e 1500:

O menor: 1000/7 = 142,857 → 143x7 = 1001

O maior: 1500/7 = 214,286 → 214x7 = 1498

Calculando o número de termos:

a_n = a₁ + (n – 1).r → 1498 = 1001 +(n – 1).7 → 7n = 504 → n = 72

Portanto, a soma dos termos é:

EX-07

Dadas as progressões:

Calcular o número de termos que se deve somar em ambas para que as somas sejam iguais.

Solução:

Vamos verificar se existe um número n (inteiro) de termos tal que S_n=S’_n:

Substituindo os valores, tem-se:

EX-08

Dados os números a=10 e b=100, pede-se:

1)     interpolar 5 meios aritméticos entre eles;

2)     qual é o número mínimo de meios que se deve interpolar para que a razão seja menor que 2/3?

Solução:

Resolvendo o item 1:

Portanto,

PA:  (10, 25, 40, 55, 70, 85, 100)

Resolvendo o item 2:

Portanto, o número mínimo de meios a interpolar é: 135

EX-09

Demonstrar que se (a, b, c) formam nesta ordem uma PA, então (a²bc, ab²c, abc²) formam também uma PA, nesta ordem.

Solução:

Hipótese: (b - a)=(c - b)

Tese: ab²c - a²bc = abc² - ab²c

Vamos multiplicar ambos os membros da hipótese por abc:

abc(b - a)=abc(c - b) → ab²c - a²bc = abc² - ab²c  (=tese)

Portanto, fica demonstrado.

EX-10

Provar que se

estão em PA nesta ordem, então o mesmo ocorre com (c², a², b²), nesta ordem.

Solução:

Hipótese: 

Tese:

a² - c² = b² - a²

Vamos executar as manipulações algébricas convenientes; da hipótese:

Assim, chegamos à tese, portanto, fica demonstrado.

Progressão Aritmética – Ex.Resolvidos-1

EX-01

Determinar x para que os números x², (x+2)² e (x+3)² formem, nesta ordem um PA.

Solução:

(x+2)² - x² = (x+3)² - (x+2)² → (x²+4x+4) – x² = (x²+6x+9) – (x²+4x+4) →

4x+4 = 2x + 5 → 2x = 1 → x = 1/2

Vamos verificar:

x = 1/2;

a₁ = x² = (1/2)² = 1/4 → a₁ = 1/4

a₂ = (x+2)² = (1/2+2)² = 25/4 → a₂ = 25/4

a₃ = (x+3)² = (1/2+3)² = 49/4 → a₃ = 49/4

(1/4, 25/4, 49/4) é uma PA de razão r=6

EX-02

Calcular o 8º, o 20º e o 32º elemento da PA cujo primeiro elemento é 1 e cuja razão é 3.

Solução:

Fórmula do termo geral:

n = 8 → a₈ = 1 + (8 – 1).3 = 22 → a₈ = 22

n = 20 → a₂₀ = 1 + (20 – 1).3 = 58 → a₂₀ = 58

n = 32 → a₃₂ = 1 + (32 – 1).3 = 94 → a₃₂ = 94

EX-03

Obter o primeiro termo de uma PA de 110 termos, sabendo que o último termo é 1120 e a razão é –5.

Solução:

Dados:

a₁₁₀=1120

r = - 5

E sabemos que:

Portanto,

1120 =  a₁ +(110 – 1).(-5) → a₁ = 1120 + 545 = 1665 → a₁ = 1665

EX-04

Na PA em que o 15º termo é - 2 e o 19º é + 32, qual é o 14º termo?

Solução:

O melhor processo para obter qualquer elemento de uma PA é antes obter a₁ e r.

n = 15 → a₁₅ = a₁ + 14r  →  a₁ + 14r = - 2        (I)

n = 19 → a₁₉ = a₁ + 18r  →  a₁ + 18r = + 32     (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), encontramos:

r  = 17/2  e  a₁ =  - 121

Basta agora aplicar a fórmula do termo geral:

n = 14 → a₁₄ = - 121 + (14 – 1).(17/2) = -21/2 → a₁₄ = - 21/2

EX-05

Determinar a PA em que se verificam as seguintes propriedades:

a₁₀ + a₂₅ = 470  e  a₅ + a₁₆ =  330.

Solução:

Determinar a PA implica em obter a₁ e r:

Então,

a₁₀ + a₂₅ = 470  ↔ (a₁ + 9r) + (a₁ + 24r) = 470 ↔ 2a₁ + 33r = 470   (I)

a₅ + a₁₆ =  330 ↔ (a₁ + 4r) + (a₁ + 15r) = 330 ↔ 2a₁ + 19r = 330    (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), encontramos:

r  = 10  e  a₁ =   70

Portanto, a PA procurada é: (70, 80, 90, 100, 110, ...)

EX-06

Qual é o primeiro termo negativo da PA em que o 5º termo é 23 e 12º é – 40?

Solução:

Vamos, primeiramente, determinar a PA, determinando a₁ e r:

a₅ = 23 → (a₁ + 4r) = 23    (I)

a12 = (a₁ + 11r) = - 40      (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), tem-se:

a₁ = 59  e  r = - 9

Seja a_p o primeiro elemento negativo da PA:

Então, tem-se que:  a_p < 0;

(a₁ + (p-1).r) < 0 → 59 + (p-1).(-9) < 0 → 68 < 9p   → p > 68/9 ≈ 7,5

Sendo p ε Z e p > 7,5, então:  p = 8

EX-07

Determinar três números em PA tais que sua soma seja – 21 e seu produto seja 224.

Solução:

É um problema típico para aplicação da sequência prática: [(x – r), x, (x + r)]:

Soma → - 21 = (x-r) + x + (x+r) → x = - 7

Produto → 224 = (x-r).x.(x+r) → (-7-r).(-7).(-7+r) = 224 → (r+7).(r-7) = 32 →

r² - 49 = 32 → r² = 81 ↔ r = 9, ou r = - 9

Portanto, obtemos 2 conjuntos de sequências que formam PA.

(r = 9  e  x = - 7) → (- 16, - 7, 2)

(r = - 9  e x = - 7) → (2, - 7, - 16)   

EX-08

Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo sabendo que eles estão em PA.

Solução:

O ângulo A = x + r = 90 (pelo enunciado) → x + r = 90 (I)

E sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, portanto,

(x-r) + x + (x+r) = 180 → 3x = 180 → x = 60  (II)

Substituindo (II) em (I): → 60 + r = 90 → r = 30

Portanto, os ângulos procurados são: 30º, 60º e 90º

EX-09

Determinar três números em PA de razão unitária de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.

Solução:

Sejam três números da seguinte forma: (x – 1), x, (x + 1), pois, r = 1.

Então, temos:

(x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ = [(x-1)+x+(x+1)]² → (x³-3x²+3x-1)+x³+(x³+3x²+3x+1) = (3x)²  → 3x³ + 6x = 9x²  → 3x³ - 9x² + 6x = 0  → x³ - 3x² + 2x = 0 →

x(x - 1)(x - 2) = 0  → x = 0, ou x = 1, ou x = 2

Portanto,

x = 0 → ( -1, 0, 1)

x = 1 → ( 0, 1, 2 )

x = 2 → (1, 2, 3)

EX-10

Determinar quatro números inteiros e positivos em P.A. sabendo que o produto do 1º pelo 4º é 45 e o produto do 2º pelo 3º é 77.

Solução:

Adotemos 4 números da seguinte forma em P.A.:

(x - 3y), (x - y), (x + y), (x + 3y)

Logo,

(x - 3y)(x + 3y) = 45 → x² - 9y² = 45   (I)

(x - y)(x + y) = 77 → x² - y² = 77   (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II):

Por exemplo, por método da adição:

x² = 81 → x = 9, ou x = - 9 e

y² = 4 → y = 2, ou y = - 2

Então temos as seguintes combinações:

x = 9 e y = 2 → (3, 7, 11, 15)

x = 9 e y = - 2 → (15, 11, 7, 3)

x = - 9 e y = 2 → (- 15, - 11, - 7, - 3)

x = - 9 e y = - 2 → (- 3, - 7, - 11, - 15)

Mas, o enunciado pede números inteiros e positivos, então:

Resposta:  (3, 7, 11, 15)

Progressão Aritmética

Definição

Progressão aritmética (PA) é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com uma constante dada.

Assim, se a é o primeiro termo e a constante dada é r  (chamada razão), podemos definir a PA pela seguinte fórmula de recorrência:

Exemplos de PA:

1)     (2, 2, 2, 2, 2, ...); a₁ = 2 e r = 0

2)     (5, 4, 3, 2, 1, ...); a₁ = 5 e r = -1

3)     (1, 3, 5, 7, 9, ...); a₁ = 1 e r = 2

As progressões aritméticas, quanto ao número de termos, podem ser:

• Finitas – (1, 3, 5, 7)
• Infinitas – (5, 4, 3, 2, 1, ...)

As progressões aritméticas formadas somente por números reais podem ser:

a)     Crescentes (se cada termo é maior que o anterior)

b)     Constantes (se cada termo é igual ao anterior)

c)     Decrescente (se cada termo é menor que o anterior)

Teorema-1

Na progressão aritmética em que o primeiro termo é a₁ e a razão é r, o enézimo termo é:

Teorema-2

Em toda progressão aritmética finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Teorema-3

Em toda progressão aritmética finita com número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética dos extremos.

Fórmula para calcular a soma (S_n ) dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA).

E sabemos que:

Portanto, temos que:

Teorema-4

A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a₁ e cuja razão é r: