EX-01 (FUVEST 2001)
Considere dois
números reais λ e μ tais que λ ≠ -1, λ ≠ 1 e λμ ≠ 0.
a) Determine uma
relação entre λ e μ, para que as equações polinomiais λx³-μx²-x-(λ+1)=0 e
λx²-x-(λ+1)=0 possuam uma raiz comum.
b) Nesse caso,
determine a raiz comum.
Solução:
Considerando α
a raiz comum, então, temos:
Substituindo em
(II), temos:
Logo,
b)
Como
EX-02 (FUVEST 2002)
As raízes do
polinômio p(x) = x³ - 3x² + m, onde m é um número real, estão em progressão
aritmética.Determine
a) o valor de m.
b) as raízes
desse polinômio.
Solução:
Lembrando que: As relações de Girard responsáveis pela
relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes,
para equação de 3º grau são:
x1 + x2 + x3 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a
x1 * x2 * x3 = – d/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a
x1 * x2 * x3 = – d/a
Sendo
que (x1, x2 e x3) são as raízes e
(a, b e c) são os coeficientes da equação.
a)
Considerando (α
– r, α, α + r) raízes da
equação em P.A. de razão r.
Pela relação de
Girard, temos:
Logo, 1 é uma
raiz do polinômio e, portanto,
b)
Pela relação de
Girard, temos:
EX-03 (FUVEST 2004)
O produto de
duas raízes do polinômio p(x) = 2x³ - mx² + 4x + 3 é igual a -1. Determinar
a) o valor de m.
b) as raízes de
p.
Solução:
a)
Pela Relação de
Girard:
Sejam x1, x2 e
x3 são raízes da equação, então podemos escrever que:
Sendo d e a são coeficientes, conforme a equação abaixo:
Do enunciado:
Comparando (1) e
(2), temos:
Considerando
que:
Então, temos:
Logo, podemos
encontrar o valor de m:
b)
Uma
das raízes do polinômio é 3/2 e m = 7 (de item anterior).
Portanto,
o polinômio fica no seguinte formato:
Vamos fazer algumas manipulações
algébricas convenientes para chegar do 1º membro ao 2º membro.
Aplicando Báskara para determinar
as raízes x1 e x2:
Portanto, as raízes do polinômio
são:
Outra maneira de resolver o item b:
Realizando divisão de polinômios,
para fatorar:
Daqui em diante é igual ao procedimento anterior.
EX-04 (FUVEST 2008)
Um polinômio de grau
3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma
progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e
o quadrado da menor raiz é 24/5.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5,
determine
a) a progressão
aritmética.
b) o coeficiente
do termo de grau 1 desse polinômio.
Solução:
a)
Sejam as raízes
por α1, α2 e α3, com α1< α2
e α2< α3, temos α1 = α2 – r e α3
= α2 + r, em que r é a razão da progressão aritmética (α1,
α2, α3). Temos:
Do enunciado:
Portanto, temos
todas as raízes:
b)
O polinômio
possui o seguinte formato:
Já conhecemos
todas as raízes do polinômio α1;
α2; α3.
De relação de
Girard, temos a seguinte relação:
EX-05 (FUVEST 2011)
As raízes da
equação do terceiro grau x³ – 14x² + kx – 64 = 0 são todas reais e forma uma
progressão geométrica. Determine
a) as raízes da
equação;
b) o valor de k.
Solução:
Sejam r1,
r2 e r3 as raízes da equação x³ – 14x² + kx – 64 = 0 e q
a razão da progressão geométrica.
Então, podemos escrever:
Pela relação de
Girard do produto das raízes, temos:
Sendo 4 uma das
raízes da equação, tem-se:
Assim, a equação
fica:
Aplicando o
dispositivo de Briot-Ruffini, tem-se:
Logo, podemos
escrever:
cujas raízes são: 2, 4, 8.
Respostas:
a)
(2,
4, 8)
b)
56
EX-06 (FUVEST 2012)
O polinômio p(x)
= x4 + ax³ + bx² + cx – 8 em que a, b e c são números reais, tem o
número complexo (1 + i) como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a,
b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de
cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes
reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.
Solução:
Nota:
O simétrico de um número complexo no plano complexo (= plano de Argand-Gauus)
em relação ao eixo real é o conjugado. A soma e o produto de número complexo
com seu conjugado têm parte imaginária nula.
Considerando
(1+i, 1 – i, β, ‒ β) raízes do polinômio p(x) = x4 + ax³ + bx² + cx
– 8.
Pela relação de
Girard do produto das raízes, temos:
Portanto, o
polinômio na forma fatorada fica:
Por comparação,
temos os valores de a, b e c.
b)
O novo polinômio
(P’(x)) tem raízes: (1, -3, i, -i).
Assim,
Respostas:
EX-07 (FUVEST 2013)
Considere o
polinômio p(x) = x4 + 1.
a) Ache todas as
raízes complexas de p(x).
b) Escreva p(x)
como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
Solução:
a)
As raízes
quartas de x4 são do tipo:
b)
Produto de dois
trinômios de segundo grau com coeficientes reais.
Montando dois trinômios
de segundo grau, de forma conveniente, para que os coeficientes sejam todos reais.
Portanto, o
primeiro trinômio é:
Portanto, o
segundo trinômio é:
Logo, o
polinômio fatorada é:
Respostas:
EX-08 (FUVEST 2014)
Os coeficientes
a, b e c do polinômio p(x) = x³ + ax² +
bx + c são reais. Sabendo que -1 e 1 +αi,
com α > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e
que o resto da divisão de p(x) por (x-1) é 8, determine
(a) valor de α;
(b)
o quociente de p(x) por (x + 1).
Solução:
a)
Então,
Se
p(x) dividido por (x – 1), o resto é 8, então,
b)
Respostas:
EX-09 (FUVEST 2016)
As constantes A,
B, C e D são tais que a igualdade
é válida para
todo x ϵ R.
a) Deduza, da
igualdade acima, um sistema linear com quatro equações satisfeito pelas
constantes A, B, C e D.
b) Resolva esse
sistema e encontre os valores dessas constantes.
Solução:
a)
Comparando o 1º
membro com o 2º membro, temos o sistema de equação solicitado:
b)
Resolvendo o
sistema por Laplace e Sarrus:
Calculando o valor de A:
Calculando o
valor de B:
Calculando o
valor de C:
Calculando o
valor de D:
Outra maneira de
resolver o item b: Por escalonamento
De (4):
Em (3):
D e C em (2):
D em (1):
