Ex-01 (FUVEST 2000)
Dois colecionadores de
selos têm, juntos, 500 selos. Cada colecionador comprou um álbum para colocar
seus selos. Os dois álbuns eram
idênticos, tendo o mesmo número de páginas. Se o primeiro colecionador colocar
exatamente 21 selos em cada página, ele vai conseguir colocar todos os seus
selos e usar todas as páginas do álbum. Se o segundo colecionador colocar 20 de
seus selos em cada página do álbum, sobrarão alguns selos. Caso ele coloque 23
selos em cada página, sobra pelo menos uma, totalmente vazia, podendo haver
ainda uma outra página com menos de 23 selos.
Quantas páginas há no
álbum?
Solução:
Para organizar melhor o
enunciado, vamos fazer uma tabela:
Na forma algébrica fica:
De equações 1 e 3, temos:
De equações 2 e 4, temos:
Ex-02 (FUVEST 2001)
A diferença entre dois
números inteiros é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um
engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir
seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39
como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.
Solução:
Resolvendo por Báskara,
temos:
Portanto, x = 31 e y = x + 10 = 31
+ 10 = 41 → y
= 41
Ex-03 (FUVEST 2001)
Dado um número real a,
considere o seguinte problema:
“Achar números reais x1,
x2, ..., x6, não todos nulos, que satisfaçam o sistema
linear: (r-2)(r-3)xr-1+((r-1)(r-3)(r-4)(r-6)a+(-1)r)xr+(r-3)xr+1=0”
para r = 1, 2, 3,..., 6, onde x0 = x7 = 0” .
(a) Escreva o sistema
linear acima em forma matricial.
(b)
Para que valores de a o problema
acima tem solução?
(c)
Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com x1=1? Se
existir, determine tal solução.
Solução:
a)
r = 1
r = 2
r = 3
r = 4
r = 5
r = 6
Portanto, temos:
Logo a forma matricial do
sistema linear é:
b)
Como todos os termos
independentes são iguais a zero, então temos um sistema linear homogêneo.
Para que
tenhamos soluções diferentes da trivial, basta termos o determinante da matriz
dos coeficientes seja nulo (=zero).
Assim,
Aplicando o Teorema de
Laplace, sucessivamente, temos:
c)
Substituindo
os valores x2, x3
e a nas demais equações, tem-se:
Resposta:
Sim existe, a = 1/8 e a
solução é (1, ‒ 1/2, 0, 0, 0, 0)
Ex-04 (FUVEST 2002)
Carlos, Luís e Silvio
tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma
aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Silvio
aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a
outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois
de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Silvio, 93 mil
reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.
(a) Quantos reais cada um
tinha inicialmente?
(b) Qual o rendimento da
aplicação de risco?
Solução
Sejam x, y e z os valores
que possuíam inicialmente Carlos, Luís e Sílvio, respectivamente; w o montante
resultante da aplicação de riscos realizada por Sílvio.
Então temos o seguinte
sistema de equações:
Resolvendo o sistema,
tem-se:
Portanto, o rendimento
anual da aplicação de risco foi de:
Este rendimento anual em
percentual foi de:
Resposta:
a) Inicialmente, Carlos
tinha R$ 20 mil reais, Luís R$ 30 mil reais e Silvio R$ 50 mil reais.
b) O rendimento anual é
igual a 60%.
Ex-05 (FUVEST 2003)
Um caminhão transporta
maçãs, peras e laranjas, num total de 10000 frutas. As frutas estão
condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada
caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 peras e 100
laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão
tem 140 caixas e custam 3300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas
estão sendo transportadas.
Solução:
Fazendo as seguintes
considerações:
M = quantidade de caixas
de maçãs;
P = quantidade de caixas
de peras;
L = quantidade de caixas
de laranjas.
Então, temos a seguintes
sistema de equações:
Resolvendo o sistema para
calcular as quantidades de caixas:
Portanto, tem-se:
Maçã = 40*50 = 2000
Pêra = 50*60 = 3000
Laranja = 50*100 = 5000
Ex-06 (FUVEST 2004)
Três cidades A, B e C
situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de
B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por
3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as
cidades B e C e à distância de 210
km de A. Sabendo-se que P está 20 Km mais próximo de C do
que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o
ponto de encontro.
Solução:
Do enunciado: a cidade B
está entre as cidades A e C, sendo a distância entre as cidades B e C é 2/3 da
distância entre as cidades A e B.
Fazendo um croqui, tem-se:
Podemos obter as seguintes
equações:
(II) em (I), tem-se,
Em (II) para obter o valor
de y que é o parâmetro solicitado pelo problema:
Resposta: O morador de B
deve percorrer 60 Km
até o ponto de encontro (P).
Ex-07 (FUVEST 2005)
Para a fabricação de bicicletas,
uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00 e unidades do
produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi
de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço do produto
B, determine o número de unidades de A que foi comprado.
Solução:
Seja
x = quantidade de A
y = quantidade de B
w = preço unitário de B
w + 2 = preço unitário de A
Logo:
x + y = 26 → y = 26 – x (I)
x.(w+2) = 96 (II)
y.w = 84 → w = 84/y (III)
(I) e (III) em (II):
Aplicando Báskara, tem-se
Portanto, foram compradas
12 peças de A.
Ex-08 (FUVEST 2005)
tem posto 1.
Solução:
A primeira linha é não
nula e observa-se que a segunda linha é múltiplo de 2 e a terceira linha é
múltiplo de 1. Então, temos a seguinte sistema de equações:
Subtraindo (III) de (II):
Resposta: a = 1, b = 3 e c = 2
Ex-09 (FUVEST 2006)
Considere o sistema linear
nas variáveis x, y e z:
(a) Calcule o determinante
da matriz dos coeficientes do sistema linear;
(b) Para que valores de a,
b e c o sistema linear admite soluções não triviais?
(c) Calcule as soluções do
sistema quando sen²a = 1 e cos²c = 1/5
Solução:
(a)
Matriz dos coeficientes é:
Cálculo do determinante:
Aplicando a Regra de
Sarrus, tem-se:
(b) Sistema linear admite
soluções não triviais, se e somente se, determinante igual à zero.
Resposta:
(c)
Substituindo, temos:
Resolvendo o sistema:
Resposta:
Ex-10 (FUVEST 2007)
Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas
ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então
esta ficará com R$ 6,00 a
mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma
quantia igual a um terço do que possui Maria.
Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria?
Solução:
Sejam A, L, M as quantias
(em reais) que Amélia, Lúcia e Maria possuem, respectivamente.
Então, podemos escrever:
Resolvendo o sistema,
temos:
Resposta:
Amélia possui R$ 24,00; Lúcia possui R$ 18,00; e Maria
possui R$ 36,00.
Ex-11 (FUVEST 2008)
João entrou na lanchonete
BOG e pediu 3 hamburgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50.
Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hamburgueres, 3 sucos de laranja e 5
cocadas, gastando R$ 57,00.
Sabendo-se que preço de um
hambuguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizam R$
10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
Solução:
Seja h = hamburger, s =
suco e c = cocadas
(h,s,c são preços
unitários)
Então, temos o seguinte
sistema de equações:
M = Matriz incompleta
Calculando o preço
unitário do hamburger:
Calculando o preço
unitário do suco:
Calculando o preço
unitário da cocada:
Resposta:
Os preços são: um hamburger – R$ 4,00; um suco – R$ 2,50;
e uma cocada – R$ 3,50.
Ex-12 (FUVEST 2009)
Considere o sistema de equações nas variáveis x
e y, dado por
Desse modo:
(a) Resolva o sistema para
m = 1.
(b) Determine todos os
valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
(c) Determine todos os
valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x,y) = (α,1), sendo α um número
irracional.
Solução:
a) m = 1
Temos infinitas soluções
do tipo (k, -2K), para qualquer k.
b) O sistema possui
infinitas soluções, se e somente se,
c) O sistema homogêneo
admita solução de forma (x,y) = (α,1), sendo α um número irracional, o sistema deverá ser
possível e indeterminado.
Os possíveis valores de m
para que isso ocorra são os resultados obtidos no item anterior (item b).
Assim, tem-se:
Para m = 1, a solução não é de forma (α,1) com α irracional,
pois 4α+2.1².1 = 0 ↔ α = -1/2 que é racional.
Para
a solução é de forma (α,1) com α irracional
desde que:
Ex-13 (FUVEST 2013)
Um empreiteiro contratou
um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a serem igualmente
divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi
dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos
trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo
original.
(a) Quantos trabalhadores
realizaram o serviço?
(b) Quanto recebeu cada um
deles?
Solução:
Inicialmente, temos:
x = número de
trabalhadores
y = quantia que cada um
receberá
Três trabalhadores
desistiram:
x’ = (x ‒ 3) = número de trabalhadores que permaneceram,
portanto,
Obtendo o valor de x:
