sexta-feira, 15 de janeiro de 2016

Progressão Geométrica – Ex.Resolvidos-2

EX-01
Determinar uma PG de 4 elementos em que a diferença entre os extremos seja 130 e a diferença entre os meios seja 30.

Solução:

Seja a1=x e razão=q:
Então,
PG (x, xq, xq², xq³)

xq³ - x = 130 x(q³ - 1) = 130 x(q – 1)(q² + q + 1) = 130    (1)


xq² - xq = 30 xq(q – 1) = 30  (2)












Portanto, são duas PGs:

(q=3) em (2):
x.3.(3-1) = 30 6.x=30 x=5 (5, 15, 45, 135)

(q=1/3) em (2):
x.1/3.(1/3-1) = 30 x.(-2/9)=30 x=-135 (-135, -45, -15, -5)




EX-02
Provar que se m, n, p, q formam nesta ordem uma PG, então vale a relação:

(m² + n² + p²)(n² + p² + q²) = (mn + np + pq)².


Solução:

Fazendo m, n=my, p=my², q=my³, isto é, a1=m e razão=y.

Então.
(1º membro) = (m² + n² + p²)(n² + p² + q²) =

= [m² + (my)² + (my²)²].[(my)² + (my²)² + (my³)²] =
= [m² + m²y² + m²y4].[m²y² + m²y4 + m²y6]=
= m².[1 + y² + y4].m²y².[1 + y² + y4] =
= m4.y².[1 + y² + y4]² = (m²y)². [1 + y² + y4]² =
= [m²y.[1 + y² + y4]]² = (m²y + m²y³ +m²y5)² =
= (mn + np + pq)² = 2º membro
Portanto, está provado.



Outra maneira:
(m, n, p, q) PG.
Então valem as seguintes relações:

n² = pm;    p² = qn;    qm = pn


(1º membro) = (m² + n² + p²)(n² + p² + q²) =

(fazendo a multiplicação...)
= m².n²+m².p²+m².q² + (n²)²+n².p²+n².q² + p².n²+(p²)²+p².q²
= (mn)²+(mp)²+(mq)² + ()²+(np)²+(nq)² + (np)²+()²+(pq)²

(substituindo: n² = pm,    p² = qn,  qm = pn)

= (mn)²+(mp)²+(pn)² + (pm)² +(np)²+(nq)² + (np)²+(qn)²+(pq)² = (mn)² + (np)² + (pq)² + 2.(mp)² + 2.(np)² + 2.(nq)² =
= (mn)² + (np)² + (pq)² + 2mpmp + 2npnp + 2nqnq =

(substituindo: n² = pm,    p² = qn,  qm = pn)

= (mn)² + (np)² + (pq)² + 2mp+ 2npqm + 2nq=
= (mn)² + (np)² + (pq)² + 2mpnn + 2npqm + 2nqpp =

= (mn + np + pq)² = (2º membro) – c.q.d.


EX-03
Inserir (=interpolar) 4 meios geométricos entre 486 e 2.

Solução:

Considerando que b = 2 (último termo) e a = 486 (primeiro termo), então, temos:

a1=486, an=2 e n=k+2, k=4 (números de meios a inserir)

Sabendo-se que vale a relação: q(k+1) = b/a, então, temos:

 q5 = 2/486 q5=1/243 q5 = (1/3)5 q = 1/3

Logo:

Resposta:  (486, 162, 54, 18, 6, 2)
                                            (4 meios)



EX-04
Obter as geratrizes das dízimas periódicas 0,474747....e 1,53333....

Solução:

Lembrando que geratrizes de uma dízima periódica é a relação p/q tal que dividindo-se p por q obtém-se a dízima.

Primeira parte:

0,47474747... = 0,47 + 0,0047 + 0,000047 + ... =

Escrevendo de outra forma temos,



Segunda parte:

1,53333... = 1,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +.... =

Escrevendo de outra forma temos,




EX-05
Obtenha 4 números a, b, c, d  tais que:

(1)            a < d;
(2)            a, c, d  formam nesta ordem uma PA e sua soma é 15;
(3)            a, b, d  formam nesta ordem uma PG e seu produto é 64.


Solução:

De (2):
Seja r a razão da PA, então, podemos escrever que: c-r, c, c+r, onde a=c-r e d=c+r.

Logo:  (c-r) + c + (c + r) = 15 3c = 15 c = 5


De (3):
De forma análoga ao anterior; seja q a razão da PG, então, podemos escrever que: b/q, b, bq, onde a=b/q e d=bq.

Logo: b/q * b * bq = 64 b³ = 64 b³ = 4³ b = 4


Voltando para (2): a + c + d = 15 a + 5 + d = 15 a + d = 10
Voltando para (3): a*b*d = 64 a*4*d = 64 a * d = 16

Temos aqui um sistema de 2 equações a 2 incógnitas.

Resolvendo a equação:
a + d = 10 a = 10 – d
a*d = 16 (10 – d)*d = 16 10d – d² = 16 - d² + 10d – 16 = 0 d² - 10d +16 = 0 (d – 2).(d – 8) = 0 d = 2, ou d = 8

Então:
d = 2 a = 10 – d = 10 – 2 = 8 a = 8

d = 8 a = 10 – d = 10 – 8 = 2 a = 2


Como o enunciado exige que a < q (1), temos:

a = 2 e d = 8



Resposta: 2, 4, 5, 8




EX-06 (FAM-1965, Faculdade Mirandópolis)
Sabendo-se que x, x+9 e x+45 estão em PG; determinar o valor de x.

Solução:









Resposta: 3



EX-07
A sequência (2x+1, 3x-6, 4x-8, ...) é uma PG. Calcular o seu quarto termo.

Solução:











Portanto, temos duas possibilidades:

x = 2 (5, 0, 0, 0,...)
                q=0/5=0

x= 22 (45, 60, 80, 320/3,...)
                q=60/45=4/3 



EX-08
Numa PG são dados os elementos ap=3a e a(p+2)=12a e sabe-se que dois termos consecutivos dessa PG tem sinais contrários. Calcular o termo a(p+7).

Solução:
Aplicando a fórmula do termo geral,


Temos:

Pelo enunciado: termos consecutivos são de sinais contrários.
Isso acontece se somente se, a razão for negativa.

Logo: q=-2


Calculando a(p+7):




EX-09
Calcular o 134º termo da sequência (-3, 5, -6, 10, -12, 20, -24, 40,...).

Solução:

Podemos observar que a sequência dada não é PG e (nem PA); é apenas uma sequência qualquer, porém,

(1)  Se tomarmos os termos de posições (=ordem) ímpares (-3, -6, -12, -24,...) é uma PG de q= 2.

(2)  Da mesma forma; se tomarmos os termos de posições (=ordem) pares (5, 10, 20, 40,...) é uma PG de q =2.

Logo, o termo 134º da sequência dada pertence ao grupo (2) é o 67º termo desse grupo, pois 134/2=67.


Então, utilizando a fórmula do termo geral, para o grupo (2), temos:

(n=67, a1=5 e q=2)




Portanto, o 134º termo da sequência dada é 5*222




EX-10 (FAM-1966)
Numa progressão geométrica de 6 termos a soma dos termos de ordem ímpar é 182 e a dos de ordem 546. Determinar a progressão.

Solução:

Seja a PG de 6 termos (a1, a2, a3, a4, a5, a6), então temos:


















Calcular a razão q dividindo (2) por (1):





Substituindo em (1) temos a1:






Logo, a PG procurada é:

(2, 6, 18, 54, 162, 486)

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