EX-01 (POLI)
Que tipo de progressão constitui
a sequência (sen(x), sen(x+π), sen(x+2π),..., sen(x+nπ) com sen(x) ≠
0?
Solução:
Logo, temos que:
(sen(x), sen(x+π), sen(x+2π),..., sen(x+nπ) =
= (sen(x), ─ sen(x), sen(x), ─ sen(x), …
Portanto, temos uma PG de razão q = ─ 1
EX-02
Obter a PG cujos elementos
verificam as relações:
a2 + a4
+ a7 = 370 e a3 + a5 + a8 = 740
Solução:
Aplicando a expressão do
termo geral da PG.
Agora vamos dividir (II)
por (I):
Em (I):
370=a1.q.(1+q2+q5)
= a1.2.(1+22+25) = 74.a1 → a1=370/74
= 5
a1 = 5
Portanto, a PG procurada é: (5, 10, 20, 40, ...)
EX-03 (ITA-1959)
Dada uma PG finita (a1, a2,
a3, a4, ......, a10) de modo que a1=2
e a2=6, pergunta-se se é correta a igualdade.
Solução:
Portanto, a resposta é: NÃO
EX-04
Quantos termos tem uma PG
de razão 2 cujo 1º termo é 6 e o último é 3072?
Solução:
Resposta: Existem 10 termos
EX-05
Inserir 5 meios
geométricos entre 4 e 2916.
Solução:
Basta determinar a razão
da PG.
Se vamos inserir 5 meios,
a PG resultante possuirá 7 termos (= 5 + 2 extremos).
Portanto,
Resposta: (4, 12, 36, 108, 324, 972, 2916)
EX-06
Qual é o número mínimo de
meios geométricos que se deve interpolar entre 2 e 156250 para a razão de
interpolação ficar menor que 5?
Solução:
Como a razão de
interpolação dever ser inferior a 5, então o número de meios geométrico deve
ser igual a 7.
EX-07
Sendo a e b números dados,
achar os outros dois x e y tais que (a, x, y, b) formem uma PG.
Então,
EX-08
Os lados de um triângulo
retângulo apresentam medidas em PG.
Calcular a razão da PG.
Para garantir a existência
do triângulo, a razão não pode ser negativa, pois, um lado do triângulo não
pode ser negativo ; portanto,
EX-09
Determinar 3 números reais
em PG de modo que a soma seja 21 e a soma de seus quadrados seja 189.
Solução:
Vamos considera que os
três números são (x, xq, xq²):
x + xq + xq² = 21 → x(1 + q +
q²) = 21 (I)
x² + (xq)² + (xq²)² = 189 → x²(1 + q² + q4) = 189 (II)
Dividindo (II) por (I),
temos:
Encontramos o termo do
meio, portanto,
(x, 6, xq) → (6/q, 6,
6q) → 6/q + 6 + 6q = 21
→
→ 6 + 6q + 6q² = 21q → 6q² + 6q – 21q + 6 = 0 →
→ 6q² - 15q + 6 = 0 → 2q² - 5q + 2 = 0 → q² - 5/2q + 1 = 0 ↔
↔ (q – 2).(q – 1/2) = 0 ↔ q = 2, ou q = 1/2
Logo:
q = 2 → (3, 6, 12)
q = 1/2 → (12, 6, 3)
EX-10
As medidas dos lados de um
triângulo são expressas por números inteiros em PG e seu produto é 216.
Calcular as medidas dos lados.
Solução:
Seja a PG (x/q, x, xq) dos
lados de um triângulo:
(x/q).(x).(xq) = 216 → x³ = 216 → x³=2³.3³ → x = 6
Logo, o produto de outros
2 lados é 216/6 = 36; então temos as seguintes possibilidades: (1,36), (2,18),
(3,12), (4,9), (6,6).
Como em um triângulo,
nenhum lado pode ser maior que a soma dos outros dois, as possibilidades passam
a ser (4,9) que forma uma PG (4, 6, 9), de razão (6/4 = 3/2 ), ou forma outra
PG (6, 6, 6), de razão 1.
Resposta: {4, 6,
9} ou {6, 6, 6}
EX-11
Determinar a PG formada
por 3 números positivos de modo que o 1º termo, a razão, o 3º termo e a soma
dos termos formem nesta ordem uma PA.
Solução:
Seja uma PG (x, xq, xq²),
Pelo enunciado: [x, q, xq², (x + xq + xq²)] = PA.
Vamos determinar os
valores de x e q:
A razão da PA = q – x = (x
+ xq + xq²) – xq² → q – x = x + xq →
→ q = x(q + 2) → x
= q/(q+2) (I)
A mesma razão da PA = q – x = xq² - q (II)
EX-12
A soma dos três elementos
de uma PA é 15. Somando respectivamente
1, 4 e 19 ao 1º, 2º e 3º elementos da PA, obtemos três números em PG. Obter a
PA.
Solução:
Seja (x-r, x, x+r) a PA
desejada.
Portanto, (x-r) + x +
(x+r) = 15 → 3x = 15 → x
= 5 (I)
[(x-r+1), (x+4), (x-r+19)]
é PG (de acordo com o enunciado).
Logo:
Portanto, temos duas PA’s.
r = 3 → (2, 5, 8)
r = -21 → (26, 5,
─16)
Resposta: (2, 5, 8), (26, 5, ─16)
EX-13
Os números a, b, c formam nesta
ordem uma PG de razão q. Determinar o
número pelo qual devemos multiplicar o 2º termo para que os três números passem
a formar uma PA.
Solução:
PG: (a, b, c) → (a, bx, c)
– PA.
Se (a, bx, c) formam PA,
então, bx – a = c – bx → 2bx = a +c →
→ x = (a+c)/2b
EX-14
Os lados de um triângulo
formam uma PG crescente. Determinar a
razão da PG.
Em qualquer triângulo um
lado não deve ser maior que a soma dos outros dois lados.
Portanto,
xq² < xq + x → q² < q
+1 → q² - q – 1 < 0
Aplicando Bhaskara:
q² - q – 1 < 0
EX-15 (FAU – 1960)
Dada a equação x³ – 2x² +
mx + 8 = 0, determinar m de modo que
as raízes formem uma PG. Escrever a PG.
Solução:
Sejam a, aq e aq² raízes
da equação acima e estão em PG.
Então,
Comparando com a expressão
x³ – 2x² + mx + 8 = 0, temos:
─((aq²+aq)+a) = ─ 2 (I)
a²q³ + a(aq²+aq) = m (II)
─ a³q³ = 8 → ─ (aq)³= 8 → aq = ─ 2 (III)
(III) em (I):
─((aq²+aq)+a) = ─ ((-2q +
(-2)+a) = -2 → 2q+2-a = -2 →
→ a
= 2q +4 (IV)
(IV) em (III):
aq = (2q+4).q = 2q²+4q =
-2 → 2q²+4q+2=0 → q²+2q+1=0 ↔
↔ (q+1)²=0 ↔ (q+1) = 0 ↔ q=
-1 (V)
(V) em (IV):
a = 2q + 4 = 2(-1) + 4 =
-2 + 4 = 2 → a
= 2 (VI)
(III), (V) e (VI) em (II):
a²q³ + a(aq²+aq) = q(aq)²
+(aq)²+a(aq) = -1.(-2)²+(-2)²+2.(-2) =
= -4+4-4 = -4 = m → m = -4 (VII)
Portanto, como resultado;
temos:
m = -4
PG (2, -2, 2)
EX-16
Obter a PG de 4 elementos
em que a soma dos 2 primeiros é 28 e a soma dos 2 últimos é 175.
Solução:
Seja PG (a, aq, aq², aq³).
a + aq = 28 → a(1+q) =
28 (I)
aq² + aq³ = 175 → aq²(1+q) =
175 (II)
Fazendo a divisão de (II)
por (I), temos
Para q = 5/2:
(I): a(1+q)=
a(1+5/2)=a.7/2=28 → a = 8
Portanto, PG é:
(8, 20, 50, 125)
Para q = -5/2:
(I): a(1+q)=
a(1-5/2)=a.(-3/2)=28 → a = -56/3
Portanto, PG é:
(-56/3, 140/3, -350/3, 875/3)
EX-17
A soma de três números que
formam uma PA crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se, somarmos
6 unidades ao último, eles passam a constituir uma PG.
Solução:
Sejam PA crescente (a-r,
a, a+r) e PG (a-r, a, a+r+6) procurados.
(a-r) + a + (a+r) = 36 → 3a = 36 → a = 12
Como a PA é crescente
r>0, portanto, somente r=6 é valido.
Logo,
Os números procurados são: (6, 12, 18)
EX-18
Provar que se x, y, z
estão em PG nesta ordem, vale a relação:
(x + y + z)(x – y + z) =
x² + y² + z²
Prova:
Se (x, y, z) estão em PG,
então vale: y/x = z/y → y² = xz → xz
= y²
(1º membro) = (x + y +
z)(x – y + z) = x² + 2xy – y² + z² =
EX-19
Se a, b, c, d estão em PG
nesta ordem, então
(b-c)² = ac + bd – 2ad.
Demonstração:
(1º membro) = (b-c)² = b²
- 2bc + c² = (I)
Se (a, b, c, d) estão em
PG, então valem as seguintes relações:
b/a = c/b → b² = ac
c/b = d/c → c² = bd
b/a = d/c → bc = ad
(I) = ac – 2ad + bd = ac + bd
– 2ad = (2º membro) → c.q.d.
EX-20
Provar que se os números
a, b, c, d formam nesta ordem uma PG, então vale a relação (b-c)²+(c-a)² +
(d-b)² = (a-d)².
Prova:
(1º membro) =
(b-c)²+(c-a)² + (d-b)² =
= b²-2bc+c²+c²-2ac+a²+d²-2bd +b² =
= 2b²+2c²-2bc-2ac-2bd+a²+d² = (I)
Como (a, b, c, d) estão em
PG, valem as seguintes relações:
b/a = c/b → b² = ac
d/c = c/b → c² = bd
d/b = c/a → ad = bc
(I) 2ac+2bd-2bc-2ac-2bd+a²+d² = -2bc+a²+d² =
= -2ad+a²+d² = a²-2ad+d² = (a-d)² = (2º membro) → c.q.d.
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