É a parte da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos que
dão os resultados prováveis ou chances de determinado resultado ocorrer. Em
outras palavras, é um conceito matemático que permite a quantificação da
incerteza. É aquilo que torna possível de se tratar os problemas aleatórios de
forma racional.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando
repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja,
são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de
ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral (ou
Conjunto Universo)
É o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral
é S.
Evento
Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.
Conceito de Probabilidade (Clássico, ou Priori)
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente
prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus
eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Exemplos:
a) Lançamento de um dado (sem vício). Seja A o
evento que registra a saída par.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = total de 6
possibilidades
A = {2, 4, 6} = 3 possibilidades
b) Lançamento de uma moeda (sem vício). Seja A
o evento que registra coroa.
S = {cara, coroa} = 2 possibilidades
A
= {coroa} = 1 possibilidade
Teorema
A probabilidade é um número
real que varia de 0 a
1, em outras palavras, a probabilidade de um evento é sempre um número entre
(probabilidade de evento impossível) e (probabilidade do evento certo):
A e  são eventos complementares
Demonstração:
Se A é um evento qualquer então:
Logo os números de elementos
satisfazem à desigualdade:
Então:
Por outro lado temos:
Probabilidade de ocorrer a União de Eventos (ou Adição de
Probabilidades)
Sejam eventos A e B, então:
Se houver elementos comuns a
A e B, estes eventos estarão considerados nos cálculos de P(A) e P(B). Para que sejam
considerados uma só vez, subtraímos P(A∩B).
Exemplos:
1) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção
de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado
por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número
total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer,
qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?
Solução:
Chamemos
de A o evento da ocorrência de um 3:
A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }
Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:
B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }
Veja
que o elemento (4,
3) integra os dois eventos, logo A∩B =
{(4,3)}
Calculando
as probabilidades de A, B e da intersecção
(A∩B), temos:
Finalmente
para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
2) Se dois dados, azul e
branco, forem lançados simultaneamente, qual a probabilidade de sair 5 no azul
ou 3 no branco?
Temos os seguintes eventos:
a) Tirar 5 no azul é P(A) = 6/36 = 1/6
b) Tirar 3 no branco é P(B) = 6/36 = 1/6
c) P(A∩B) = 1/36
Portanto,
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
P(AUB)
= 1/3
Outra maneira de pensar.
Seja S o espaço amostral de
todos os possíveis resultados, temos-se: n(S) = 6*6 = 36
possibilidades.
Portanto,
P(azul 5 ou branco 3) = 6/36 + 6/36 – 1/36 = 11/36
Probabilidade de ocorrer
a União de Eventos mutuamente exclusivos
Dizemos que dois ou mais
eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização
do(s) outro(s).
Em outras palavras: 2
eventos são mutuamente exclusivos se, e somente se, A∩B = Ф.
Logo: A∩B = Ф
→ P(A∩B) = 0
Assim, no lançamento de uma
moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente
exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Portanto, se A e B dois
eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é
igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
P(AUB) = P(A) + P(B)
Genericamente:
Sejam eventos E1,
E2, E3, E4, ......, En, mutuamente
exclusivos, então:
P(E1
U E2 U E3 U.....U En) = P(E1)
+ P(E2) + P(E3) + ... + P(En)
Exemplo:
Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?
Solução
P(3) = 1/6
P(5) = 1/6
Como os dois eventos são
mutuamente exclusivos, temos:
P(3U5) = P(3) + P(5) = 1/6 +
1/6 = 2/6 = 1/3
Probabilidade Condicional
Definição:
Chama-se probabilidade condicional de A,
relativamente a B, a probabilidade do evento A quando já se verificou o evento
B. Indica-se por P(A│B) e lê-se: a probabilidade de A sendo
que deu B.
É evidente que:
Ou ainda:
E decorre a principal
conseqüência da definição:
P(A∩B) =
P(B).P(A│B) = P(A).P(B│A)
Exemplo:
Um grupo de pessoas, em
turismo, apresenta a composição dada pela tabela:
Pergunta-se: escolhido um
homem do grupo, qual é a probabilidade que seja argentino?
A probabilidade de ser
argentino homem deve ser escolhido no conjunto dos homens, portanto, o elemento
procurado pertence ao conjunto A∩H e o conjunto universo (=espaço amostral),
nesta operação, é H.
Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio
da Multiplicação)
Teorema:
Se A, B e C são eventos
independentes, então:
P(A∩B∩C) = P(A)
* P(B) * P(C)
Em
outras palavras:
Se uma decisão D1 pode ser tomada de m modos e, qualquer que seja essa
escolha, a decisão D2
pode ser tomada de n modos, então, o
número de maneiras distintas de se tomar consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a m*n.
Exemplos:
1) Luciana estava indecisa
sobre qual combinação de roupa utilizaria para ir a uma festa. Ela tinha à sua
disposição 2 saias nas cores preta e azul e 3 blusas nas cores rosa, verde e
laranja. Sabendo disso, de quantas
formas diferentes Luciana pode escolher um conjunto composto por uma saia e uma
blusa para ir à festa?
Solução
Há 2 possibilidades de saias
(preta e azul) e
Há 3 possibilidades de
blusas (rosa, verde e laranja)
Portanto, 2*3 = 6
possibilidades para o conjunto.
2) Após o último dia de
aula, os alunos do 9º ano combinaram de se encontrar em uma sorveteria para
comemorar o início das férias. A
sorveteria dispunha 50 sabores diferentes, que podiam ser colocados em
casquinha, ou copinho. Oferecia-se, como cortesia, uma cobertura, que podia ser
de caramelo, morango ou chocolate. De quantas maneiras diferentes um aluno
podia montar um sorvete contendo uma bola e uma cobertura?
Solução
Para resolver essa situação,
vamos aplicar o Princípio Fundamental da Contagem. São 3 decisões:
D1 = escolher o recipiente,
ou seja, se casquinha ou copinho (2 opções);
D2 = escolher o sabor, entre
50 opções;
D3 = escolher a cobertura,
que pode ser de caramelo, morango ou chocolate (3 opções)
Portanto, o número de
possibilidades de um aluno escolher um sorvete da forma descrita é:
2*50*3 = 300
3) Joga-se um dado e
lança-se uma moeda. Qual é a probabilidade de obter os eventos “6 pontos” no dado e “cara” na moeda?
Solução:
Chamando os eventos de A e
B, respectivamente, é evidente que A e B são independentes, então:
P(A∩B) = P(B) * P(B) = 1/6 *
1/2 = 1/12
Lei Binomial de Probabilidade
Só é aplicável a uma experiência aleatória que obedeça às
características seguintes:
a) A experiência deve ser
repetida, nas mesmas condições, um número n
pré-fixado de vezes;
b) Cada vez que a
experiência é feita ocorre o evento A ou evento Â;
c) P(A) é constante em
todas as n vezes;
d) Cada experiência é
independente das demais.
Ilustração:
Consideremos uma experiência que se repete
n vezes e que em qualquer delas tenhamos:
Qual é a probabilidade do evento A ocorrer em i das n experiências?
Notamos que nas n experiências P(A) e P(A
barra) são constantes
e o resultado de cada experiência é independente dos resultados das anteriores; sendo
assim, a probabilidade de obter i vezes o evento A e n-i vezes o evento (A barra), em qualquer ordem, é o produto das
probabilidades, isto é:
Como convém ao
problema qualquer conjunto ordenado de n elementos, sendo i iguais a A e (n-i) iguais a (A barra), não importando a ordem
dos elementos, devemos calcular o número de conjuntos ordenados que satisfaçam
(permutações de n elementos com i iguais a A e (n-i) iguais a (A barra)), isto é:
E multiplicar
este número pelo produto das probabilidades, obtendo:
Assim, chegamos
a denominada LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADES.
