Ex-01
Jogando-se dois dados sem vícios,
qual a probabilidade de obtermos soma dos pontos igual a 2?
Solução
O espaço amostral é igual: n(S) = 6 x 6 = 36.
Seja A o evento soma=2, então, n(A) = 1
Logo, a probabilidade procurada é:
Ex-02
Uma urna contém 10 bolas idênticas
numeradas de 0 a
9. Tira-se da urna uma bola. Qual a
probabilidade de que a bola extraída tenha número divisível por 2? E por 3? E
por 6?
Solução
Espaço amostral: n(S) = 10
Evento divisível por 2: (0, 2, 4, 6, 8) → n(div2) = 5
Evento divisível por 3: (0, 3, 6, 9) → n(div3) = 4
Evento divisível por 6: (0, 6) → n(div6) = 2
Portanto,
Probabilidade de que seja divisível por 3:
Probabilidade de que seja divisível por 6:
Ex-03
Jogando-se dois dados, qual a
probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5?
Solução
Tabela que mostra todas as possibilidades
Conjunto universo (= espaço amostral) → n(S) = 36
Seja o evento A conjunto de todos os resultados de soma
igual a 4: n(A) = 3
Portanto, a probabilidade de ocorrer A é:
Seja o evento B conjunto de todos os resultados de soma
igual a 5: n(A) = 4
Portanto, a probabilidade de ocorrer B é:
Logo, a probabilidade de ocorrer: P(AUB) = P(A) + P(B):
Ex-04
Permutando-se os algarismos 1, 3,
5, 7, 8, 9 e considerando-se ao acaso, um dos números obtidos, qual é a
probabilidade deste número ser divisível por 6?
Solução
Para que um número seja divisível por 6, deve ser divisível
por 2 e 3.
Permutando os algarismos, os números que serão divisíveis
por 2 deverão terminar em 8.
E para que seja divisível por 3, a soma de todos os
algarismos deve ser divisível por 3.
Verificação: 1+3+5+7+8+9 = 33, logo, independente das posições dos
algarismos os números serão sempre divisíveis por 3.
Espaço amostral: n(S) = 6! (permutação de 6) = 720
Seja evento A todos os números divisíveis por 2:
_ _
_ _ _ 8
Portanto, n(A) = 5!
(permutação de 5) = 120
E como é sempre divisível por 3 em todo o conjunto universo,
tem-se:
Ex-05
Jogando-se um dado 3 vezes, qual a
probabilidade da soma dos pontos obtidos ser 5?
Solução
Como são 3 lances, temos: Espaço amostral de (6 x 6 x 6 =
216) possibilidades.
Portanto, n(S) = 216
Calculando o evento (soma=5 pontos) em 3 lances.
No segundo lance temos as seguintes possibilidades, conforme
a tabela:
Como nos 3 lances a soma tem que ser igual a 5, só nos
interessa os conjuntos localizados no campo em amarelo, Isto é, a soma (em 2
lances) deve ser inferior ou igual a 4.
As possibilidades do evento (soma=5 pontos) estão nos campos
em azul.
Portanto, n(soma=5
pontos) = 6.
Logo a probabilidade esperada é:
Ex-06
Permutando-se as letras da palavra PERNAMBUCO e, ao acaso,
escolhendo-se uma das palavras formadas, qual é a probabilidade desta começar
por vogal e terminar em consoante?
Solução
A escolha da vogal inicial pode ser feita de 4 maneiras e,
depois disso, a consoante final pode ser escolhida de 6 maneiras. As restantes
8 posições podem ser arrumadas entre essa vogal e essa consoante selecionadas
de P8 = 8! = 40320 maneiras.
Portanto, o número total de palavras que começam com uma
vogal e terminam em uma consoante é: 4*6*40320 = 967680 possibilidades.
Espaço amostral é 10! (=permutação de 10); número total de
possibilidades.
Logo, a probabilidade de uma palavra começar por vogal e
terminar em consoante é:
Ex-07
Jogando-se dois dados, qual a
probabilidade de obtermos soma dos pontos menor ou igual a 6?
Solução
Conjunto universo → n(S) = 6*6 = 36
Evento A: soma dos pontos menor ou igual a 6 → n(A) = 15
Portanto, a probabilidade de obtermos soma dos pontos menor
ou igual a 6 é:
Ex-08
Se, num grupo de 15 homens e 5
mulheres, sorteamos 3 pessoas para formar uma comissão, qual é a probabilidade
desta ser formada por dois homens e uma mulher?
Solução
Conjunto universo: 15 homens e 5 mulheres, total 20 pessoas
→ n(S) = 20
A) Primeira escolha (Homem) → P(A) = 15/20
(Justificativa:
temos 15 homens entre 20 pessoas)
B) Segunda escolha (Homem) → P(B) = 14/19
(Justificativa:
temos 14 homens entre 19 pessoas, pois um homem já foi escolhido, não podendo mais ser considerado.)
C) Terceira escolha (Mulher) → P(C) = 5/18
(Justificativa:
escolher uma mulher entre 5 presentes, pois nenhuma ainda foi escolhida, e entre 18 pessoas no
total, pois duas pessoas já foram escolhidas.)
Ex-09
Jogando-se dois dados, qual a
probabilidade de obtermos soma dos pontos compreendida entre 4 e 8?
Solução
Espaço amostral → n(S) = 6*6 = 36
Evento A: soma dos pontos compreendida entre 4 e 8 → n(A) =
15
Portanto, a probabilidade de obtermos soma dos pontos
compreendida entre 4 e 8 é:
Ex-10
Retirando-se uma bola de cada
urna, qual a probabilidade de se obter 3 bolas de mesma cor?
Solução
Probabilidade de 3 bolas brancas:
P(3 brancas) = P(urna-1,
branca) E P(urna-2, branca) E P(urna-3, branca)
P(branca, urna-1) = n(branca,
urna-1)/n(urna-1) = 3/10
P(branca, urna-2) =
n(branca, urna-2)/n(urna-2) = 7/20
P(branca, urna-3) =
n(branca, urna-3)/n(urna-3) = 10/15
Probabilidade de 3 bolas azuis:
P(3 azuis) = P(urna-1, azul)
E P(urna-2, azul) E P(urna-3, azul)
P(azul, urna-1) = n(azul,
urna-1)/n(urna-1) = 2/10
P(azul, urna-2) = n(azul,
urna-2)/n(urna-2) = 10/20
P(azul, urna-3) = n(azul,
urna-3)/n(urna-3) = 3/15
Probabilidade de 3 bolas pretas:
P(preta, urna-1) = n(preta,
urna-1)/n(urna-1) = 5/10
P(preta, urna-2) = n(preta,
urna-2)/n(urna-2) = 3/20
P(preta, urna-3) = n(preta,
urna-3)/n(urna-3) = 2/15
Portanto, retirando-se uma
bola de cada urna a probabilidade de se obter 3 bolas de mesma cor é:
p(3 bolas, mesma cor) = p(3,
brancas) OU p(3, azuis) OU p(3, pretas)
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