Funções Exponenciais Exercícios Resolvidos-1

(De livro: Dante, Luiz Roberto - Contextos e Aplicações – Editora Ática)

EX-01)  Resolver a seguinte equação:  3^2x + 2.3^x – 15 = 0

Solução:

Vamos fazer a seguinte substituição: y = 3^x

Então a equação fica: (3^x)² + 2.3^x – 15 = 0 → y² + 2y – 15 =0

y² + 2y – 15 =0 ↔ (y + 5).(y – 3) = 0 ↔ y = - 5, ou y = 3.

Como (y = 3^x) deve ser maior que zero; então somente a igualdade (y = 3) é válida:

Logo temos que: y = 3 → 3^x = 3 ↔ x = 1

Resposta:  S = { 1 }

EX-02)  Resolver a seguinte equação:  4^x - 9.2^x + 8 = 0

Solução:

4^x – 9.2^x + 8 = 0 → (2^x)² - 9.2^x + 8 = 0

Vamos fazer a seguinte substituição: y = 2^x

y² - 9y + 8 = 0 ↔ (y – 8).(y – 1) = 0 ↔ y = 8, ou y = 1

Logo temos que:

y = 8 → 2^x = 2³   ↔ x = 3

y = 1 → 2^x = 2⁰   ↔ x = 0

Resposta:  S = { 0, 3 }

EX-03)  Resolver a seguinte equação:  9^x - 4.3^x + 3 = 0

Solução:

9^x – 4.3^x + 3 = 0 → (3^x)² - 4.3^x + 3 = 0

Vamos fazer a seguinte substituição: y = 3^x

y² - 4y + 3 = 0 ↔ (y – 3).(y – 1) = 0 ↔ y = 3, ou y = 1

Portanto, temos que:

y = 3 → 3^x = 3 ↔ x = 1

y = 1 → 3^x = 1 → 3^x = 3⁰  ↔ x = 0

Resposta: S = { 0, 1 }

EX-04)  Resolver a seguinte equação:  7^x + 7^x-1 = 8

Solução:

7^x + 7^x-1 = 8 → 7^x + 7^x/7 = 8 → 7. 7^x +7.  7^x/7 = 7. 8 → 7.7^x + 7^x = 7.8 →

8.7^x = 7.8 → 7^x = 7 ↔ x = 1

Resposta: S = { 1 }

EX-05)  

Sabe-se que:

Calculem os valores de a para que se tenha f(a) = g(a).

Solução:

Logo para termos f(a) = g(a) ↔ (4a² - a) = 3a + 3 ↔ 4a² - 4a – 3 = 0 ↔

a² - a – 3/4 = 0 ↔  (a + 1/2).(a + 3/2) = 0 ↔ a = - 1/2, ou a = 3/2

Resposta:  a = - 1/2, ou a = 3/2

EX-06)  

Se

Qual é o valor de (x-y)?

Solução:

3^x+y = 1 ↔ 3^x+y = 3⁰  ↔ x + y = 0 (1)

2^x+2y = 2 ↔ x + 2y = 1 (2)

(1):  x + y = 0 → x = - y (3)

Em (2): x + 2y = 1 → - y + 2y = 1 → y = 1

Logo, de (3):

x = - y → x = - 1

Portanto:

(x – y) = -1 – (1) = - 2 → x – y = - 2

Resposta:  - 2

EX-07)  

Descubra qual par (x,y) é a solução do sistema.

Solução:

4^x _* 8^y = 1/4  → 2^2x _* 2^3y = 2^-2  → 2^2x+3y = 2^-2  ↔ 2x + 3y = -2 (1)

9^x _* 27^2y = 3 → 3^2x _* 3^6y = 3 → 3^2x+6y = 3 ↔ 2x + 6y = 1 (2)

Fazendo (2) – (1), tem-se:

3y = 3 ↔ y = 1

(1)   : 2x + 3y = -2 → 2x + 3_*1 = - 2 → 2x + 3 = - 2 ↔ x = -5/2

Resposta:  ( -5/2, 1 )

EX-08)  

Qual é ponto comum aos gráficos de f(x) = 4^x-1 e g(x) = 2?

Solução:

f(x) = g(x) ↔ 4^x-1 = 2  ↔ 2^2(x-1) = 2 ↔ 2(x-1) = 1 ↔ 2x – 2 = 1 ↔ x = 3/2

e y = 2, pois g(x) = 2 

Resposta:  ( 3/2, 2 )

EX-09)  Química

A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. A medida de tempo na qual metade da quantidade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida ou período de semidesintegração (P). A cada período de tempo P a quantidade de material radioativo cai à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo com a quantidade inicial por meio de uma função exponencial:

Em que N₀ é a quantidade inicial do material radioativo, t é o tempo decorrido e P é o valor da meia-vida do material radioativo considerado.  A radioatividade faz parte de nossa vida, como se faz uma tomografia.  Um dos isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos à tomografia é o carbono 11, cuja meia vida é de 20 minutos. O tempo necessário, em minutos, para que uma amostra de carbono 11 se reduza a 1/4 do que era quando foi obtida é:

Solução:

Dados: P = 20 min = 1/3 h, N₀ = 1 e N = 1/4

Portanto:

N(t) = N₀.(1/2)^t/P  → 1/4 = 1. (1/2)^t/(1/3) → (1/2)² = (1/2)^3t  ↔ 2 = 3t ↔ t = 2/3 h

Logo:  t = 2/3*60 = 40 min → t = 40 min

EX-10)  Química

O Carbono 14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original de C14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C14 em um fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas.  A atividade radioativa do C14 decai com o tempo pós-morte segundo a função exponencial:

Em que A₀ é a atividade natural do C14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte.  Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter sua idade estimada.  Verificou-se que emitia 7 radiações de C14 por grama/hora.  Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama por hora, então a idade aproximada desse fóssil, em anos, seria:

Solução:

Dados: A₀ = 896; A(t) = 7

A(t) = A₀.(1/2)^(t/5730)  → 7 = 896.(1/2)^(t/5730)    ↔  1 = 128.(1/2)^(t/5730)    ↔

(1/2)⁷ = .(1/2)^(t/5730)    ↔  7 = t/5730  ↔ t = 40 110 anos

EX-11)  Biologia

Em uma certa cultura, há 1000 bactérias em determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000.  Quantas bactérias existirão em 1 h, sabendo que elas aumentam segundo uma fórmula P(t) = P_0*e^kt , em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é uma constante?

Solução:

Vamos considerar a primeira observação como ponto de partida, portanto, tem-se: t₀ = 0 e P₀ = 1000 bactérias.

Após 10 minutos (= 1/6 hora): P(1/6) = 4000 bactérias, então podemos escrever que:

T = 1/6 h

P(1/6) = 1000.e^k.1/6  → 4000 = 1000.e^k/6 → e^k/6  = 4

Então vamos calcular o número de bactérias após decorrido 1 hora.

P(1) = 1000.e^k.1 = 1000.( e^k/6 )⁶ = 1000. (4)⁶ = 1000. 4096 → P(1) = 4 096 000

Resposta:  4 096 000 bactérias

EX-12)  Biologia

Os biólogos afirmam que, sob condições ideais, o número de bactérias em uma certa cultura cresce de tal forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes no início do intervalo de tempo considerado. Suponhamos que 2000 bactérias estejam inicialmente presentes em uma certa cultura e que 4000 estejam presentes 30 minutos depois.  Quantas bactérias estarão presentes no fim de 2 horas?

Solução:

P(t) = P₀.e^kt 

P₀ = 2000

30 minutos = 1/2 hora → P(1/2) = 4000

P(2) =?

P(0,5) = 4000 = 2000. e^0,5k → e^0,5k = 2

Portanto,

P(2) = 2000. e^2k = 2000.( e^0,5k)⁴ = 2000.(2)⁴ = 32 000 

P(2) = 32 000 bactérias

EX-13)  Biologia

O modelo Jenss-Bayley é uma fórmula usada para avaliar a altura de uma criança em idade pré-escolar.  Se h(x) denota a altura (em centímetros) na idade x (em anos) para 1/4 ≤ x ≤ 6, então h(x) pode ser aproximado por h(x) = 79,041 + 6,39x – e^{(3,261 – 0,993x)}. A partir dessa expressão, temos que a taxa de crescimento v(x) (em cm/ano) de uma criança na mesma faixa de idade é dada por v(x) = 6,39 + 0,993.e^{(3,261 – 0,993x)}.   (Considere a aproximação e^2,268 = 9,7). Com base no exposto, quais seriam a altura e a taxa de variação de crescimento de uma criança quando esta atingisse a idade de 1 ano?

Solução:

x = 1 ano

Portanto,

h(x) = 79,041 + 6,39x – e^{(3,261 – 0,993x)}  = 79,041 + 6,39 - e^{(3,261 – 0,993)}  =

85,431 - e^(2,268)  = 85,431 – 9,7 = 75,7 → h(1) = 75,7 cm

v(x) = 6,39 + 0,993.e^{(3,261 – 0,993x)} = 6,39 + 0,993. e^{(3,261 – 0,993)}  =

6,39 + 0,993. e^(2,268)  = 6,39 + 0,993*9,7 = 16 → v(1) = 16 cm/ano

EX-14)  Química

Os átomos de um elemento químico radioativo têm uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outros elementos).  Dessa forma, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui.  Chamamos de meia-vida o tempo que o elemento radioativo leva para desintegrar metade de sua massa radioativa.  O antibiótico acetilcefuroxima apresenta meia-vida de 3 horas.  Se uma pessoa tomou 50 mg desse medicamento, qual é a quantidade de antibiótico ainda presente no organismo.

a)     após 12 horas de sua ingestão?

b)     Após t horas de sua ingestão?

Solução:

Vamos resolver pelo item b:

P = 3 horas (=meia vida)

Portanto, Q(t) = Q(0).(1/2) t/P, onde Q(0) = quantidade inicial do antibiótico = 50 mg; t = tempo decorrido; P = tempo para meia vida = 3 horas e Q(t) = quantidade no tempo t qualquer.

Logo: Q(t) = 50.(1/2)^t/3

Item a):

Para t=12 horas

Q(t) = 50. (1/2)^12/3  = 50. (1/2) ⁴ = 3,125 mg → Q(12) = 3,125 mg

Resposta:  3,125 mg; Q(t) = 50.(1/2)^t/3

Demosntração: Ex-12  (Química)

Demonstração da fórmula adotada no exercício-12:

A fórmula aplicada no exercício em questão: 

Demonstração:

A população instantânea (modelo mais simples, empírico) pode ser dada por:

sendo k = constante de crescimento populacional e p = população de bactérias.    

Vamos, agora, para manipulações algébricas:

Fazendo t = 0, para determinar o p₀, tem-se: