Logaritmo Exercícios Resolvidos - 2

EX-01

Determine o valor da seguinte expressão:

Solução:

Condição de existência da expressão.

E sabendo-se que:

Então, temos:

EX-02

Resolver a seguinte equação:

Solução:

Condição de existência:

3x+10 > 0 ↔ 3x > - 10 ↔ x > - 10/3

e x>0

Logo, x deverá ser positivo.

EX-03

Resolver a seguinte equação:

Solução:

Condição de existência:

5x+1>0 ↔ 5x > -1 ↔ x > - 1/5

e x+3>0 e ≠ 0 → x > - 3

Logo, x > - 1/5

EX-04

Resolver a seguinte equação: log₂(12 - 2^x) = 2x

Solução:

12-2^x>0 → 12 > 2^x → 2^x < 12 → log₂2^x <2log₂3 → x < 2_*log₂3

(12 – 2^x) = 2^2x → (12 – 2^x) = (2^x)² → (2^x)² + 2^x – 12 = 0

Fazendo 2^x = y, tem-se:

y² + y – 12 = 0 ↔ (y + 4)(y - 3)=0 ↔ y = - 4 ou y = 3

y = - 4

2^x = y ↔ 2^x = - 4; 2^x é sempre positivo, portanto, não existe x que satisfaça a igualdade.

 y = 3

2^x = y ↔ 2^x = 3 ↔ log₂2^x = log₂3 ↔ x = log₂3

EX-05

Determine o valor de x:

a) log₄ x = 2

Solução:

log₄ x = 2  ↔ x = 4²  ↔ x = 16

b) log_1/3  x = 4

Solução:

log_1/3  x = 4 ↔ x = (1/3)⁴ ↔  x = 1/81

c) log₁₀ (2x + 1) = 2

Solução:

log₁₀ (2x + 1) = 2 ↔ 2x + 1 = 10² ↔ 2x + 1 = 100 ↔  2x = 99 ↔ x = 99/2

EX-06

Sejam log2 = x, log3 = y e log5 = z. 

Determine os valores de log10, log27 e log7,5

Soluções:

log10 = log (2.5) = log2 + log5 →  log10 = x + z

log27 = log 3³ = 3.log3 → log 27 = 3y

log (7,5) = log (15/2) = log15 – log2 = log(3.5) – log2 = log3 + log5 – log2 →

→ log (7,5) = x + z – x

EX-07

Calcular o valor de A, sendo A = log₂ 0,5 + log₃ √3 + log₄ 8.

Solução:

A = log₂ (1/2) + log₃ (3)^1/2 + log₄ 2.4 = log₂ 2^-1 + 1/2 + (log₄ 2 + log₄ 4) =

= -1 + 1/2 +(log₄ 4^1/2 +1) = - 1 + 1/2 + (1/2 + 1) = 1 → A =1

EX-08

Calcular o valor de X, sendo X = log₅ 625 + log100 – log₃ 27

Solução:

X = log₅ 5⁴ + log10² – log₃ 3³  = 4 + 2 – 3 = 3 → X = 3

EX-09

Se log₇ (10) = 1,1833, qual é o valor de log₇(70)?

Solução:

log₇(70) = log₇(7.10) = log₇(7) + log₇(10) = 1 + 1,1833 = 2,1833 →

→ log₇(70) = 2,1833

EX-10

Calcular o valor de log₂₄(6).  Se log₂₇(6) = x e log₂₇(4) = y.

Solução:

Sabemos que 

Então,

Funções Exponenciais Exercícios Resolvidos-3

EX-01

Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes sentenças:

Soluções:

Para justificar todas as respostas e os critérios de julgamento são as seguintes asserções abaixo:

Respostas:

(a) V     (b) F    (c) V     (d) V     (e) V     (f) V     (g) V     (h) F

EX-02

Classificar em V ou F as seguintes sentenças:

Soluções (Justificativas):

(a) V, pois 2^0,7 > 1 ↔ 2^0,7 > 2⁰ → (2>1 e 0,7 > 0), logo 2^0,7 > 2⁰

(b) F, pois (1/2)⁵ > 1 ↔ (1/2)⁵ > (1/2)⁰ → (0<1/2<1 e 5 > 0), logo  (1/2)⁵ < (1/2)⁰

(c) F, pois  e^π < 1 ↔ e^π < e⁰ → (e > 1 e π > 0), logo e^π > e⁰

(d) F, pois (√2)^3/4 < 1 ↔ (√2)^3/4 < (√2)⁰ → (√2 >1 e ¾ > 1), logo (√2)^3/4 > (√2)⁰

(e) V, pois 3^(-0,3) < 1 ↔ 3^(-0,3) < 3⁰  → (3 > 0 e -0,3 < 0), logo 3^(-0,3) < 3⁰ 

(f) V, pois (3/7)^(-3,4) > 1 ↔ (3/7)^(-3,4) > (3/7)⁰  → (0<3/7<1 e -3,4<0), logo (3/7)^(-3,4) > (3/7)⁰ 

(g) F, pois  (√3)^(5/7) < 1 ↔ (√3)^(5/7) <(√3)⁰ → (√3 > 1 e 5/7 > 0), logo (√3)^(5/7) >(√3)⁰

(h) V, pois (3/8)^(4/5) < 1 ↔ (3/8)^(4/5) < (3/8)⁰ → (0<3/8<1 e 4/5 > 0), logo (3/8)^(4/5) > (3/8)⁰

EX-03

Esboçar o gráfico das funções abaixo, para -2 ≤ x  ≤ 2.

 

Soluções:

EX-04

Quais das seguintes funções são crescentes?

Solução:

As funções a, b, f, g, h são crescentes.

EX-05

Resolver as seguintes equações exponenciais (x pertence ao conjunto dos reais).

a) 3^x²-1=27

Solução:

3^x²-1 = 3³  ↔ x²-1 = 3 ↔ x² = 4 ↔ x = ±2

b) 4^3x = 2^2x+4

Solução:

2^6x = 2^2x+4  ↔ 6x = 2x+4 ↔ 4x = 4 ↔ x = 1

c) 5^3x=1 = (1/5)^5-x

Solução:

5^3x-1 = ((5)^-1)^5-x ↔ 5^3x-1 = (5)^-5+x ↔ 3x–1 = -5+x ↔ 2x = -4 ↔ x = -2

d) 6 = 2^x(1/3)^y

Solução:

2 . 3 = 2^x.3^-y  ↔ os expoentes devem ser iguais; por comparação, tem-se:

x = 1 e y = -1

e)  3^x+1 = - 3

Solução:

S = Ø, não existe x tal que 3^x+1 seja negativo. Em outras palavras: quando a base é positiva, o resultado da exponenciação é sempre positivo, independentemente do valor do expoente.

f)  7^x²-4x+3 = 1

Solução:

7^x²-4x+3 = 7⁰ ↔ x²-4+3 = 0 ↔ (x-3)(x-1)=0 ↔ x = 3 ou x = 1

g) 11^2x²-x-1 = 1

Solução:

11^2x²-x-1 = 11⁰ ↔ 2x²-x-1 = 0 ↔ x²-1/2x-1/2 = 0 ↔ (x-1)(x+1/2) = 0 ↔ x = 1 ou x = -1/2

h) 2^x²+1 = 1/2

Solução:

2^x²+1 = 2^-1 ↔ x²+1 = -1 ↔ x² = - 2 → S = Ø, não existe x Real tal que x² = - 2

EX-06

Resolver as seguintes inequações:

a) 2^x > 1

Solução:

2^x > 2⁰ ↔ x > 0, x Є R

b) 3^x > 9

Solução:

3^x > 3² ↔ x > 2, x Є R

c) (1/2)^x > (1/4)

Solução:

(1/2)^x > (1/2)²  ↔ (2)^-x > (2)^-2  ↔ -x > -2 ↔ x < 2, x Є R

d) (1/3)^x > 9

Solução:

(1/3)^x > (3)²  ↔ (3)^-x > (3)² ↔ - x > 2  ↔ x < - 2, x Є R

e) (√2) ^2x > (√2) ^x-1

Solução:

√2 > 1, portanto, 2x > x – 1 ↔ x > – 1, x Є R

Ou outra maneira de resolver:

((2)^1/2)  ^2x > (2)^1/2) ^x-1   ↔  (2) ^x > (2)^1/2(x-1)  ↔ x > x/2 – 1/2  ↔ x/2 > -1/2  ↔ x > – 1

f) (√3)^3x < (√3) ^2x+4 

Solução:

(√3)^3x < (√3) ^2x+4  ↔ 3x < 2x+4  ↔ x < 4, x Є R

Ou outra maneira de resolver:

((3)^1/2)  ^3x < (3)^1/2) ^2x+4   ↔ 3x/2 < ½(2x + 4) ↔ 3x < 2x + 4 ↔ x < 4, x Є R

g) (e)^x² < (e) ^x 

Solução:

e (número neperiano) > 1, portanto,

x² < x ↔ x(x-1) < 0 ↔  x < 0, ou x > 1, x Є R

h) (1/√2)^x² < (1/√2) ^2x 

Solução:

1/√2 < 1, portanto,

x² > 2x ↔ x² - 2x >0  ↔ x(x – 2) > 0 ↔ x < 0, ou x > 0, x Є R

EX-07

Resolver as seguintes inequações:

a) (0,1) ^{4x² - 2x - 2} < (0,1) ^2x-3 

Solução:

4x² - 2x – 2 > 2x – 3  ↔  4x² - 4x +1 > 0  ↔  (x – 1/2)² > 0  ↔  S = R – {1/2}

b) (5) ^2/x  > 0

Solução:

(5) ^2/x  é sempre positivo, porém, x ≠ 0. Portanto,

S = R – {0}

c) a ^{3x +2} ≥ a ^{2x + 3} 

Solução:

a > 0

3x +2 ≥ 2x + 3  ↔ x  ≥ 1

0 < a < 1

3x +2 ≤ 2x + 3  ↔ x  ≤ 1

d) (x) ^{3x + 1} > (x) ^x

Solução:

x > 1

3x +1 > x  ↔  2x > -1  ↔  x > -1/2

x > 1  e  x > -1/2  →  x > 1

0 < x < 1

3x +1 < x  ↔  2x < -1  ↔  x < -1/2

0 < x < 1  e  x < -1/2  →  não há coincidências

Portanto, a resposta da questão:

S = { x Є R │ x > 1}

e) (5) ^{x² - 8x - 20} < 1

Solução:

(5) ^{x² - 8x - 20} < (5) ⁰  ↔ x² - 8x - 20 < 0  ↔ (x+2)(x-10) < 0  ↔  -2 < x < 10

S = { x Є R │ - 2 <x < 10}

f)  (x) ^{x² - 7x + 8} > (x) ²

Solução:

x > 1

x² - 7x + 8 > 2  ↔  x² - 7x + 6 > 0 ↔ (x-1)(x-6) > 0 ↔ x < 1, ou x > 6

Portanto, x > 1 e  x < 1 ou x > 6 → x >6

0 < x < 1

x² - 7x + 8 < 2  ↔  x² - 7x + 6 < 0 ↔ (x-1)(x-6) < 0  ↔ 1 < x < 6.

Portanto, 0 < x < 1 e 1 < x < 6 → não existe x satisfaz as condições.

EX-08

Determinar os valores inteiros de x para os quais 1 ≤ (2) ^x/3 ≤ 4.

Solução:

2⁰ ≤ (2) ^x/3 ≤ 2²   ↔  0 ≤ x/3 ≤ 2  ↔  0 ≤ x ≤ 6.

Portanto, inteiros neste intervalo são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

EX-09

Resolver a inequação  │x│^{x² - x - 2} < 1.

Solução:

x > 0

x² - x – 2 < 0   ↔ (x +1)(x – 2) < 0  ↔  -1 < x < 2

O valor de x deverá ser positivo (x > 0) e estar entre -1 e 2 (-1 < x < 2), então,

1 < x < 2.

0 < x < 1

x² - x – 2 > 0   ↔ (x +1)(x – 2) > 0  ↔   x < -1 ou x > 2

Não existe x que esteja entre 0 e 1 e menor que -1 ou maior que 2.

Portanto,

S = { x Є R │ 1 <x < 2}

EX-10

Resolver a equação 3.2 ^x+3 = 192. 3 ^x-3 .

Solução:

3.2 ^x+3 = 2⁶.3.3 ^x-3   ↔ 3.2 ^x+3 = 2⁶.3 ^x-2   ↔ x – 2 = 1 ou x +3 = 6 ↔ x = 3 ou x = 3 ↔   x = 3

Funções Exponenciais Exercícios Resolvidos-2

EX-01 (ENEM-2007)

A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo. 

O gráfico acima representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo. 

F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica.
Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40. 

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30 min. será aproximadamente de 

a) 10%        b) 15%        c) 25%        d) 35%        e) 50%

Justificativa (soluções):

Pelo enunciado, a meia vida de amoxicilina é de 1 hora, portanto, o eixo das abscissas é, além de indicar o número de meias-vidas, os números indicam o número de horas percorrido. 

Portanto, pelo gráfico, temos que:

O tempo 1,5 h (do eixo das abscissas) corresponde aos 35% no eixo das ordenadas.

Outra maneira:

Vamos supor que o gráfico dado, apresenta a grade com menos precisão. Então, podemos considerar que o intervalo entre as meias vidas como uma reta:

Outra maneira:

(para este caso é preciso a utilização de uma calculadora científica)

Sabemos que a equação genérica para o decaimento é uma função exponencial:

Onde Q(t) = quantidade da substância no corpo em instante qualquer t;

Q(t₀) = quantidade inicial da substância;

k = constante de decaimento

t = tempo

Do enunciado tempo de meia vida é 1 hora, isto é, t_1/2 = 1 h; então, Q(t₀) = 100%, Q(t_1/2) = 50%.

Logo, podemos calcular o valor de k.  

Logo, a equação de decaimento fica:

Agora podemos calcular Q(t=1,5):

EX-02 (ENEM-2013)

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que o “cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, et al. Cálculo e aplicações.

São Paulo: Edgard Bücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

a) S = kM        b) S = kM^1/3       c) S = k^1/3M^1/3    d) S = k^1/3M^2/3     e) S = k1/3M²

Solução (Justificativa):

“cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.  Esta asserção algebricamente é:

Portanto, podemos elevar os ambos os membros por 1/3, ou extrair a raiz cúbica (que é a mesma coisa).

Ou podemos fazer da seguinte forma:

EX-03 (ENEM-2011)

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_W), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_W e M₀ se relacionam pela fórmula:

Onde M₀ é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_W = 7,3.

  

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.

Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.

Disponível em: http://www.earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

a) 10 ^-5,10         b) 10 ^-0,73        c) 10 ^12,00       d) 10 ^21,65      e) 10 ^27,00

Solução (Justificativa):

Dado: Kobe → M_W = 7,3

EX-04  (ENEM-2013)

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de Césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do Césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão 

, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log2.  Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27         b) 36         c) 50         d) 54         e) 100

Solução (Justificativa):

De enunciado: meia vida do Césio-137 é 30 anos, então algebricamente:

M(t=30) = A/2 

Agora temos todos os dados para calcular o tempo solicitado:

Probabilidades-Ex.Resolvidos-5

Lançamento de dois dados

Ex-01

Ao se jogarem dois dados, a probabi­lidade de um e outro darem 6 é:

Solução

Uma maneira de pensar:

A probabilidade de ocorrerem simultaneamente dois ou mais acontecimentos independentes é igual ao produto das probabilidades dos aconteci­mentos isolados (Regra da Multiplicação).

A probabilidade de dar 6 no primeiro dado é: 1/6 e

A probabilidade de dar 6 no segundo dado é  também: 1/6

Portanto, a probabilidade de um e outro darem 6 é: 1/6*1/6 = 1/36

Outra maneira de pensar:

Espaço amostral

n(S) = 36

Seja A o evento: ocorrer 6 no primeiro dado e 6 no segundo dado, então n(A) = 1

(campo em amarelo)

Portanto, p(A) = n(A)/n(S) = 1/36

Ex-02

Após o lançamento de dois dados, obteve-se uma soma igual a 9. Determine a probabilidade de um dos dados apresentar o número 5.

Solução

Pelo desenho acima:

No lançamento de dois dados temos 4 possibilidades de soma 9, então: n(S) = 4.

São 2 as possibilidades de um dos dados apresentar o número 5.  E seja A o evento de um dos dados apresentar 5, temos: n(A) = 2

Portanto, p(A) = n(A)/n(S) = 2/4 = 1/2

Ex-03

Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?

Solução

Espaço amostral

n(S) = 36 (total de possibilidades)

Para que a soma dos números dos dados seja 5, temos a seguintes possibilidades, conforme o desenho: {(4,1),(3,2),(2,3),(1,4)}.

Então, são 4 possibilidades dentro de 36 possíveis para A ganhar.

Como A não ganhou (conforme enunciado) sobraram 32 possibilidades para B.

Para que a soma dos números seja 8, temos as seguintes possibilidades: {(6,2),(5,3),(4,4),(3,5),(2,6)}, então n(B) = 5

Portanto, p(B) = n(B)/32 = 5/32

Ex-04

Lançam-se dois dados honestos. Qual a probabilidade de que a diferença em módulo das faces seja menor do que 2?

Solução

S - Espaço amostral

n(S) = 36

Seja evento A diferença em módulo inferior a 2: n(A) = 16

p(A) = n(A)/n(S) = 16/36 = 4/9  

Ex-05

Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

           

Solução

Evento A: tirar 5 no dado azul – uma possibilidade no total de seis → p(A) = 1/6

Evento B: tirar 3 no dado branco – uma possibilidade no total de seis → p(B) = 1/6

Portanto, a probabilidade de ocorrer os eventos A e B é p(A e B) = 1/6*1/6 = 1/36

Outra maneira de resolver:

Seja S espaço amostral:  n(S) = 36

O evento de ocorrer dado azul 5 e dado branco 3 existe somente 1 possibilidade (campo em amarelo), logo n(A e B) = 1

Portanto, a probabilidade de ocorrer dado azul 5 e dado branco 3 é:

p(A e B) = n(A e B)/n(S) = 1/36

Ex-06

Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10.

Solução

Espaço amostral, total de 36 possibilidades – n(S) = 36

Seja evento A: soma maior ou igual a 10 – n(A) = 6

Portanto,  p(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6

Ex-07

No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

Solução

Conjunto universo – total de possibilidades → n(S) = 36

Evento A: ocorrência de soma igual a 5 → n(A) = 4

Portanto, a probabilidade de se obter soma igual a 5 é:

p(A) = n(A)/n(S) = 4/36 = 1/9

Ex-08

No lançamento de dois dados, um verde e outro vermelho, qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja:

a) 7

b) 1

c) maior que 12

d) um número par

Solução

Conjunto universo: n(S) = 36

Evento A: soma dos pontos igual a 7 – n(A) = 6

Evento B: soma dos pontos igual a 1 – n(B) = 0 (evento impossível)

Evento C: soma dos pontos maior que 12 – n(C) = 0 (evento impossível)

Evento D: um número par – n(D) = 18

Portanto,

a) p(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6

b) p(B) =  0

c) p(C) = 0

d) p(D) = n(D)/n(S) = 18/36 = 1/2  

Ex-09

Considere o lançamento de dois dados. Determine

a) a probabilidade de se obter um total de 7 pontos.

b) a probabilidade de não se obter um total de 7 pontos.

Solução

Conjunto universo – n(S) = 36

Seja A evento: soma igual 7 – n(A) = 6

Seja B evento complementar de A

Então,

P(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6

P(B) = 1 – P(A) = 1 – 1/6 = 5/6

Ex-10

Seja o lançamento de dois dados honestos. Qual a probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois dados?

Solução

Conjunto universo – n(S) = 36

Seja A evento: pontos iguais – n(A) = 6

Então,

P(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6