Progressões Geométricas

Definição:

Progressão Geométrica (PG) é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante dada (=conhecida).

Assim, se a é o primeiro termo e a constante dada é q (chamada razão), podemos definir a PG pela seguinte fórmula de recorrência:

As progressões geométricas, quanto ao número de termos, podem ser:

a)    Finitas – (5, 10, 20)

b)    Infinitas – (√2, 2, 2√2, 4, ...)

As progressões geométricas formadas somente por números reais podem ser:

1) Crescentes (se cada termo é maior que o anterior) – exemplos: (1, 2, 4, 8, ...) e (-81, -27, -9, -3, ...).

Formalização:

2) Decrescentes (se cada termo é menor que o anterior) – exemplos: (4, 2, 1, 1/2, ...) e (-3, -6, -12, -24, ...).

Formalização:

3) Constantes (se cada termo é igual ao anterior) – exemplos: (3, 3, 3, 3, ...) e (-5, -5, -5, -5, ...).

Formalização:

4) Alternantes (se cada termo, a partir de a₂ , tem sinal contrario ao do termo anterior) – exemplos: (2, -6, 18, -54, ...) e (-1, 1, -1, 1, ...).

Formalização:

5) Singulares (quando zero é termo da PG) – exemplos: (5, 0, 0, 0, ...) e (-7, 0, 0, 0, ...).

Formalização:

Primeira propriedade:

Fórmula do termo geral

Teorema:

Na progressão geométrica em que o primeiro termo é a₁ e a razão é q, o enézimo termo é:

Interpolação Geométrica

Inserir (ou interpolar) k meios geométricos entre os números a e b significa obter a PG de (k + 2) termos de extremos a e b (onde a é o primeiro termo e o b é o último). Para realizar a interpolação basta, determinar qual é a razão da PG; então:

Exemplo:

Interpolar 6 meios geométricos entre 1 e 128.

Solução:

Logo,

PG: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)

              (6 meios)

Fórmula do Produto

Teorema:

Em toda progressão geométrica finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Demonstração:

Exemplo:

Teorema:

Em toda PG finita com números (2p+1) ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos:

Fórmula para calcular o produto dos primeiros n termos de uma PG.

Deduzindo a fórmula:

(Esta fórmula pode ser utilizada para calcular o produto dos n primeiros termos da PG).

Substituindo a_n aplicando a fórmula do termo geral temos:

 (Termo geral)

Outra maneira de chegar a mesma fórmula:

Teorema:

O produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a₁ e cuja razão é q é

Obtendo o sinal de P_n:

1º.) 

Portanto, todos os termos da PG são positivos.

2º.)

Portanto, tem-se:

1)    P_n > 0 (se n é par)

2)    P_n < 0 (se n é impar)

3º.)

Portanto, a cada grupo de 4 termos consecutivos dá um produto parcial positivo.

Fórmula da Soma

Teorema:

A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a₁ e cuja razão é q (q ≠ 1) é:

(q ≠ 1)

Demonstração

  

Corolário:

Observando que

então, temos:

(q ≠ 1)

Série Geométrica Infinita

Teorema:

A série geométrica infinita

Converge e sua soma é

Se a₁ = 0, a série converge e sua soma é zero.

Se │q│≥ 1 e a₁ ≠ 0, a série diverge.

Desafios

Do livro-Matemática - Contexto & Aplicações (Ensino Médio) – Dante, Luiz Roberto: Página 20

Trata-se de uma revisão de assuntos vistos no oitavo ano do curso fundamental.

Clique aqui para relembrar.

EX-01 (UNIFOR-CE)

Determine o valor da expressão 

Para x = 4 e y = √3.

Solução:

Aplicando o conceito de produtos notáveis temos que:

Portanto, x² - y² = (4)² - (√3)² = 16 – 3 = 13

Resposta: 13

EX-02 (CEFET-CE)

Se

O valor de

Solução:

EX-03 (OBM)

Quantos são os pares (x,y) de inteiros positivos tal que

 

Solução:

Podemos escrever que:

Então, temos que:

 e

Podemos afirmar que x é sempre positivo, porém, y é positivo, se somente se, 

Portanto,

Resposta: 1004 pares (x,y)

Progressão Aritmética – Ex.Resolvidos-2

EX-01 (ITA 1966)

Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10 000, que não sejam divisíveis nem por 5 e nem por 7?

Solução: (passo a passo)

A idéia é calcular todos os inteiros que existem e depois subtrair os inteiros múltiplos de 5 e 7.

Cálculo de todos os inteiros:

a_n = a₁ + (n - 1)r
a_n = 10 000

a₁ = 1000

r = 1

Portanto,
10000 = 1000 + (n - 1)1
10000 = 999 + n
n = 9001

Cálculo do número de múltiplos de 5:
a_n = a₁ + (n - 1)r

a_n = 10 000

a₁ = 1000

r = 5

Portanto,
10000 = 1000 + (n - 1)5
10000 = 1000 + 5n - 5
n = 1801

Cálculo do número de múltiplos de 7:
a_n = a₁ + (n - 1)r

Determinando o primeiro inteiro múltiplo de 7 depois de 1000:

1000/7 = 142,86 → 143 x 7 = 1001

Determinando o último inteiro múltiplo de 7 antes de 10 000:

10000/7 = 1428,57 → 1428 x 7 = 9996

Logo,

a_n = 9996

a₁ = 1001

r = 7

Portanto,
9996 = 1001 + (n - 1)7
9996 = 994 + 7n
n = 1286

Cálculo do número de múltiplos de 5 e de 7 compreendidos entre 1000 e 10000. Mostraremos o motivo deste cálculo no final.

Determinando o primeiro inteiro múltiplo de 35 depois de 1000:

1000/35 = 28,57 → 29 x 35 = 1015

Determinando o último inteiro múltiplo de 35 antes de 10 000:

10000/35 = 285,71 → 285 x 35 = 9975

Logo,

a_n = 9975

a₁ = 1015

r = 35

Portanto,

an = a1 + (n - 1)r
9975 = 1015 + (n - 1)35
9975 = 980 + 35n
n = 257

Para o cálculo da quantidade de números compreendidos entre 1000 e 10000 que não são divisíveis nem por 5 e nem por 7.

N = 9001 - 1801 - 1286 + 257

N = 6171

Notamos que somamos 257 números que são divisíveis por 5 e 7 simultaneamente. Somamos porque quando subtraímos o números divisíveis por 5 e 7, estamos subtraindo duas vezes a quantidade 257. 
Vejamos na figura:

EX-02

Provar que se (a, b, c) estão em PA nesta ordem, então, vale a relação:

2(a³+b³+c³) + 21abc = 3(a+b+c)(ab+bc+ca)

Solução:

Como (a, b, c) estão em PA, temos que:

a + b + c = 3/2 (a + c)

b = (a + c)/2

Vamos considerar y a seguinte expressão:

y = 2(a³+b³+c³) + 21abc - 3(a+b+c)(ab+bc+ca)

Chegamos à conclusão que (1) = (2)

Portanto, fica demonstrado que a relação:

2(a³+b³+c³) + 21abc = 3(a+b+c)(ab+bc+ca) vale, quando (a, b, c) é uma PA nesta ordem.

EX-03

Determinar cinco números em PA sabendo que sua soma é -10 e a soma dos seus quadrados é 60:

Solução:

Vamos adotar a seguinte sequência:  (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Soma: (x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r) = - 10   (I)

Soma dos quadrados: (x-2r)²+(x-r)²+x²+(x+r)²+(x+2r)² = 60   (II)

Sistema de equações (I) e (II):

De (I) temos que:  5x = - 10 → x = - 2

De (II) temos que: 5x² + 10r² = 60 → 5.(- 2)² + 10r² = 60 → 20 + 10r² = 60 → 10r² = 40 → r = ± 2

Logo, temos:

x = - 2 e r = 2 → (-6, -4, -2, 0, 2)

x = - 2 e r = - 2 → (2, 0, -2, -4, -6)

O enunciado pediu os números, portanto, a ordem não importa, então:

Resposta: { 2, 0, - 2, - 4, - 6 }

EX-04

Qual é a soma dos 100 primeiros números ímpares positivos? E a soma dos n primeiros?

Solução:

A sequência dos números ímpares positivos (1, 3, 5, 7, 9, ...) é uma PA de a₁ = 1 e r = 2

Logo, o 100º termo é:

a₁₀₀ = a₁ + (100 – 1).r → a₁₀₀ = 1 + (100 – 1).2 = 199 → a₁₀₀ = 199

Portanto, a soma dos 100 primeiros é:

Calculando a soma dos n primeiros termos:

O enésimo termo é:  a_n=a₁+(n-1).r → a_n = 1+(n-1).2 = 2n -1 → a_n = 2n – 1

EX-05

Qual é a soma dos múltiplos positivos de 8 formados por três algarismos?

Solução:

Determinando o primeiro número de 3 algarismos que é múltiplo de 8:

100/8 = 12,5 → 13x8 = 104

Determinando o último número de 3 algarismos que é múltiplo de 8:

999/8 = 124,875 → 124x8 = 992

Portanto, os múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos são:

(104, 112, 120, 128, ........, 992)

Logo: a₁ = 104, n_a = 992  e  r = 8

Calculando o número de elementos da PA.

an = a1 + (n – 1).r → 992 = 104 + (n – 1).8 → 992 = 104 + 8n – 8 →

896 = 8n → n = 112

Calculando  a soma dos termos da PA:

EX-06

Qual é a soma dos números divisíveis por 7, compreendidos entre 1000 e 1500?

Solução:

Determinando os números múltiplos de 7 compreendidos entre 1000 e 1500:

O menor: 1000/7 = 142,857 → 143x7 = 1001

O maior: 1500/7 = 214,286 → 214x7 = 1498

Calculando o número de termos:

a_n = a₁ + (n – 1).r → 1498 = 1001 +(n – 1).7 → 7n = 504 → n = 72

Portanto, a soma dos termos é:

EX-07

Dadas as progressões:

Calcular o número de termos que se deve somar em ambas para que as somas sejam iguais.

Solução:

Vamos verificar se existe um número n (inteiro) de termos tal que S_n=S’_n:

Substituindo os valores, tem-se:

EX-08

Dados os números a=10 e b=100, pede-se:

1)     interpolar 5 meios aritméticos entre eles;

2)     qual é o número mínimo de meios que se deve interpolar para que a razão seja menor que 2/3?

Solução:

Resolvendo o item 1:

Portanto,

PA:  (10, 25, 40, 55, 70, 85, 100)

Resolvendo o item 2:

Portanto, o número mínimo de meios a interpolar é: 135

EX-09

Demonstrar que se (a, b, c) formam nesta ordem uma PA, então (a²bc, ab²c, abc²) formam também uma PA, nesta ordem.

Solução:

Hipótese: (b - a)=(c - b)

Tese: ab²c - a²bc = abc² - ab²c

Vamos multiplicar ambos os membros da hipótese por abc:

abc(b - a)=abc(c - b) → ab²c - a²bc = abc² - ab²c  (=tese)

Portanto, fica demonstrado.

EX-10

Provar que se

estão em PA nesta ordem, então o mesmo ocorre com (c², a², b²), nesta ordem.

Solução:

Hipótese: 

Tese:

a² - c² = b² - a²

Vamos executar as manipulações algébricas convenientes; da hipótese:

Assim, chegamos à tese, portanto, fica demonstrado.