Logaritmo Exercícios Resolvidos - I

1) Determinar o logaritmo de √2 no sistema de base 4.

Solução:

Resposta: x=1/4

2) Em que base a tem-se log_a 256 = 4?

Solução:

Como 0 < a ≠ 1, portanto, a = - 4 não convém,
logo, a resposta é: a = 4

3) Determinar x para que log₂ (x²-x-1) exista:

Solução:

As raízes da equação x²-x-1=0 são:

Portanto, a solução procurada é:

Vejamos no gráfico:

4) Determinar os valores de x para os quais a função y=log (x³-3x²+x+1) é definida.

Solução:
A função é definida para todo x real tal que: x³ - 3x + x + 1 > 0

Portanto,

Isto é, o domínio de existência da função dada é:

5) Qual é o domínio da função y=log_x (x²+x-6) ?

Solução:
Condições de existência da função:
(I) x²+x-6 >0 (Logaritmando)
(II) 0<x≠1 (Base)

As raízes da equação x²+x-6=0 são 2 e -3, então,

Fazendo a intersecção dos conjuntos de valores de x que satisfazem (I) com os que servem em (II), temos:

Portanto,

6) Determinar a base na qual o logaritmo de quatro menos a metade da base é 1/2.

Solução:

Temos de impor duas condições:

(I)

(II)

Existe solução se e somente se as condições (I) e (II) forem satisfeitas, então:

Portanto, resposta: x=4




7) Resolver a equação 

Solução:

Resposta: S={4,-2}

8) Resolver a equação

Solução:

Resposta: S={32}




9) Provar que se

Solução:

Temos as seguintes implicações:

Logo, está provado.

10) Resolver a equação:

Solução:

Logaritmo

Chama-se logaritmo de um número b ϵ R⁺ em relação a uma dada base

a ϵ R⁺- {1} o expoente que se deve dar à base a, a fim de que a potência obtida seja igual a b.

Em símbolos: 

Os números negativos e o zero não têm logaritmo.

As nomenclaturas dos números são:

b = logaritmando, ou antilogaritmo de c na base a.

a = base

c = logaritmo

Consequências da definição

Decorrem da definição de logaritmo as seguintes propriedades para

A função logarítmica é função inversa da função exponencial:

O sistema de logaritmos neperianos:

Possui como base o número irracional e (e = 2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com a condição x > 0. Ele pode ser expresso por: 

Método (Regra) de CRAMER

É um método para resolver sistemas de equações lineares.  Este método só pode ser utilizado para sistemas que possuírem o número de equações igual ao número de incógnitas. 

O procedimento é muito simples:

Basta calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituir os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e, feito isso, proceder de acordo com a seguinte regra de Cramer.

Vejamos um exemplo:

Resolver o seguinte sistema de equações lineares, utilizando o método de Cramer:

Reescrevendo o sistema, temos que:

1º Passo: Calcular o determinante da matriz incompleta.

2º Passo: Calcular os determinantes das incógnitas.

3º Passo: Calcular as incógnitas.

Matriz inversa

Inversão por sistemas lineares

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular, se e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero.

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método por sistemas lineares. Esse método parte da definição de que o produto de uma matriz inversível de ordem n pela sua inversa também de  ordem n é a matriz identidade I_n, isto é:

Primeiro passo:  Verificar se a matriz admite inversa, isto é, se ela é ou não inversível (ou não singular). Para isso calculamos o determinante da A.

Segundo passo:

Montar a equação   

                        
e resolver os sistemas de equações

lineares, determinando a matriz  A^-1, ou inv(A).

Multiplicando as matriz A e A^-1, obtemos:

Com o resultado da multiplicação, obtemos uma igualdade de matrizes em que cada elemento das matrizes se corresponda, obtemos assim, dois sistemas de duas equações.

Resolvendo os dois sistemas de equações obteremos os valores de x, y, z e w, que são os elementos da matriz inversa procurada.

Exemplo:

Determinar a matriz inversa de A.

1º Passo: 

Det(A) = 3.5 – 8.2 = -1 ≠ 0, portanto, existe matriz inversa de A.

2º Passo:

Efetuando a multiplicação:

Por comparação temos que:

Resolvendo os dois sistemas temos: x = -5, y = 2, z = 8 e w = -3

Portanto,